Вакарчук І.О. Квантова механіка

Наступне, не менш важливе, спiввiдношення з векторним добутком:

[ˆ ] + [ ˆ] = 2i~ .

Lr rL r

Доведемо цю рiвнiсть, розписуючи її за компонентами. Наприклад,

= (Lyz − zLy) + (yLz − Lzy) = [Ly, z] + [y, Lz]

= [zpˆx − xpˆz, z] + [y, xpˆy − ypˆx] = x[z, pz ] + x[y, py] = 2i~x.

Аналогiчно дiємо i для y- та z-компонент i переконуємось, що на-

ведене спiввiдношення є правильним. Доведiмо також, що

Це i доводить нашу векторну рiвнiсть.

Уведемо тепер до розгляду оператор квадрата моменту кiлькостi руху

291

Обчислимо далi комутатор

ˆ ˆ2 ˆ ˆ2 − ˆ2 ˆ ˆ ˆ − ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

[Lx, L ] = LxL L Lx = LxL LLx + LLx L

− ˆ ˆ ˆ − ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ − ˆ ˆ ˆ

L LLx LxL + LxL = [Lx, L]L L[L, Lx]

Це, очевидно, справджується для будь-якої компоненти:

ну з оператором ˆ2 систему власних функцiй. По-третє, оскiльки

L

оператори ˆ ˆ ˆ мiж собою не комутують, то власнi стани

Lx, Ly, Lz

квадрата моменту iмпульсу є виродженими. Уведемо новi оператори

ˆ± ˆ ± ˆ

L = Lx iLy

i дослiдимо їхнi властивостi. Обчислимо їхнiй комутатор

ˆ+ ˆ− ˆ ˆ ˆ − ˆ − ˆ ˆ ˆ ˆ ~ ˆ

[L , L ] = [Lx + iLy, Lx iLy] = i[Lx, Ly] + i[Ly, Lx] = 2 Lz.

292

Ми розглядали повороти, коли хвильова функцiя залежить лише вiд радiус-вектора частинки r. У тому випадку, коли дослiджу-

ваний об’єкт має не лише момент iмпульсу, або кутовий момент, пов’язаний з його рухом у просторi (орбiтальний момент кiлькостi руху), а й власний момент iмпульсу, тобто спiн, то повний

293

момент iмпульсу ˆ дорiвнює їхнiй сумi. Та ж ситуацiя виникає, ко-

J

ли, наприклад, маємо систему, що складається з декiлькох частинок: повний момент кiлькостi руху дорiвнює сумi кутових моментiв окремих частинок. Зрозумiло, що алґебра операторiв проекцiї

вольняють тi самi переставнi спiввiдношення. Отже, у загальному випадку оператор повороту на кут ϕ навколо певної осi з напрямком n

як на “зовнiшнi” змiннi, пов’язанi з перемiщенням системи як цiлого, так i на “внутрiшнi” змiннi, що описують її внутрiшнi ступенi вiльностi.

§ 33. Власнi значення та власнi функцiї операторiв

квадрата й проекцiй моменту кiлькостi руху

Як було показано в попередньому параграфi, оператор квадрата моменту кiлькостi руху та оператор будь-якої його проекцiї мають спiльну систему власних функцiй. Поставимо собi за мету знайти власнi значення та власнi функцiї цих операторiв. Причому ми будемо говорити зараз не про орбiтальний момент кiлькостi

Наше завдання: знайти можливi значення квадрата моменту кiлькостi руху та його проекцiй, виходячи лише iз цих комутацiйних спiввiдношень i не звертаючись до конкретних зображень. Цим ми вводимо до розгляду i таку величину, як власний момент кiлькостi

294

руху частинки, тобто її спiн. Зрозумiло, що це математичне виведення можливих значень квадрата моменту кiлькостi руху та його проекцiї не поглибить нашого розумiння фiзичного механiзму формування власного механiчного моменту частинки. Однак це виведення дає зв’язок мiж симетрiйними властивостями простору, пов’язаними з поворотами та можливими чисельними значеннями спiну. Таким чином, певнi значення спiну, наприклад електрона, диктуються властивостями фiзичного простору.

Домовляємось про позначення. Приймаємо, що J2 це власне

значення квадрата моменту кiлькостi руху, яке будемо нумерува-

ти квантовим числом . Власнi значення оператора проекцiї ˆ по- j Jz

значимо через Jz. Нумеруємо його квантовим числом m. Iз трьох

компонент оператора ˆ ми вибираємо z-компоненту. Їхню спiльну

J

систему власних функцiй позначаємо через кет-вектор |j, mi. У

цих позначеннях рiвняння на власнi функцiї та власнi значення мають вигляд:

усереднимо оператор квадрата моменту кiлькостi руху за деяким станом:

Очевидно, що права частина цiєї рiвностi є величною додатною. Отже, отримаємо нерiвнiсть

яку можна записати так:

295

Якщо усереднення вiдбувається за власними станами цих операторiв, то

ним.

Зосередимо тепер увагу на рiвняннi на власнi значення для

оператора ˆ i подiємо на нього операторами ˆ± ˆ ± ˆ :

Jz J = Jx iJy

ˆ± ˆ | i ˆ±| i

J Jz j, m = JzJ j, m .

Далi маємо

ˆ± ˆ − ˆ ˆ± ˆ ˆ± | i ˆ±| i

J Jz JzJ + JzJ j, m = JzJ j, m .

Скористаймось комутатором, який ми обчислили в попередньому

параграфi для ˆ±,

L

ˆ ˆ± ±~ ˆ± [Jz , J ] = J ,

i знайдемо

ˆ ˆ±| i ± ~ ˆ±| i

JzJ j, m = (Jz )J j, m .

Ми знову отримали рiвняння на власнi значення для оператора

ˆ , але з власним значенням ± ~, тобто зi збiльшеним або змен-

Jz Jz

шеним на елементарний квант ~. Причому цим власним значен-

ням вiдповiдає власна функцiя ˆ±| i. Це нагадує ситуацiю з

J j, m

розв’язком рiвняння Шрединґера для гармонiчного осцилятора

причому квантове число m може, як бачимо, збiльшуватись або

зменшуватись на одиницю,

m = ±1,

296

у межах спектра мiж деяким максимальним mmax та мiнiмальним mmin = −mmax значеннями. Нашi рiвняння на власнi значення

тепер мають вигляд

ˆ | i ~ | i

Jz j, m = m j, m ,

а

ˆ ˆ±| i ~ ± ˆ±| i

JzJ j, m = (m 1)J j, m .

Бачимо, що власна функцiя

ˆ±| i | ± i

J j, m = const± j, m 1 ,

де const± сталi нормування. Звiдси випливає, що матричний

елемент

тори ˆ+, ˆ− дiють подiбно до операторiв породження i знищення

J J

в теорiї гармонiчного осцилятора. Розглянемо комутатор

ˆ+ ˆ− ~ ˆ

[J , J ] = 2 Jz,

який ми знайшли ранiше, i обчислимо його дiагональний матричний елемент:

h | ˆ+ ˆ− − ˆ− ˆ+| i ~h | ˆ | i j, m J J J J j, m = 2 j, m Jz j, m .

Злiва матричний елемент вiд добутку операторiв розписуємо як добуток матриць:

X X h

h | ˆ+| ′ ′ih ′ ′| ˆ−| i j, m J j , m j , m J j, m

j′ m′

i

−h | ˆ−| ′ ′ih ′ ′| ˆ+| i ~2 j, m J j , m j , m J j, m = 2 m.

Справа ми скористались тим, що |j, mi є власною функцiєю опе-

297

“виживає” лише один доданок iз суми за j′, m′, унаслiдок виписа-

них вище властивостей матричних елементiв операторiв ˆ+, ˆ−:

J J

h | ˆ+| − ih − | ˆ−| i j, m J j, m 1 j, m 1 J j, m

−h | ˆ−| ih | ˆ+| i ~2 j, m J j, m + 1 j, m + 1 J j, m = 2 m.

а для комплексно спряженої величини звiдси маємо

У цих позначеннях попереднє рiвняння є таким:

λm−1λm−1 − λmλm = 2m,

|λm−1|2 − |λm|2 = 2m.

Маємо рекурентне рiвняння для невiдомих величин |λm|2, яке легко розв’язати, наприклад, розкладом за степенями m:

|λm|2 = C + C1m + C2m2 + C3m3 + . . . .

З попереднього рiвняння тепер маємо, що

C + C1(m − 1) + C2(m − 1)2 + C3(m − 1)3

+ . . . − C − C1m − C2m2 − C3m3 − . . . = 2m.

Порiвнюючи коефiцiєнти при однакових степенях змiнної величини m злiва i справа в цьому рiвняннi, знаходимо систему рiвнянь

для невiдомих коефiцiєнтiв розкладу:

−C1 + C2 − C3 + . . . = 0,

−2C2 + 3C3 + . . . = 2,

−3C3 + . . . = 0.

Звiдси знаходимо C3 = C4 = . . . = 0, C1 = C2 = −1, i отже,

|λm|2 = C − m(m + 1),

298

де стала C є поки що невiдомою. Очевидно

|λm|2 ≥ 0,

тобто

C− m(m + 1) ≥ 0,

i отже, як ми вже встановили, спектр значень m, що нумерують

власнi значення Jz, є обмеженим. Крiм того, при Jz = 0, коли m = 0, маємо C ≥ 0. Таким чином, iснує максимальне значення m,

для якого

C− m(m + 1) = 0.

m2 = −(m1 + 1).

Значення m = m1 i є максимальним значенням числа m, m1 =

Рiвнiсть нулевi величини |λm|2, з iндексом m меншим, нiж m2,

Цi двi умови аналогiчнi означенню основного стану для гармонiчного осцилятора. Однак там була тiльки одна умова, оскiльки спектр енерґiй осцилятора обмежений лише знизу. Тут спектр обмежений як знизу, так i зверху, тому маємо два “вакуумнi” стани, причому байдуже, який з них узяти за основу. Отже, ми

299

отримали, що мiнiмальне значення квантового числа m є mmin = m2 + 1 = −m1. Таким чином,

−m1 ≤ m ≤ m1,

причому

C = m1(m1 + 1),

так що

|λm|2 = m1(m1 + 1) − m(m + 1).

Обчислимо тепер власнi значення квадрата моменту кiлькостi руху як дiагональний матричний елемент

Тут ми знову скористаємось знайденим у попередньому параграфi

добутком операторiв ˆ+ та ˆ−:

J J

ˆ+ ˆ− ˆ2 − ˆ2 ~ ˆ

J J = J Jz + Jz .

За допомогою цього виразу знаходимо, що

2 h | ˆ+ ˆ− ˆ2 − ~ ˆ | i

J = j, m J J + Jz Jz j, m

h | ˆ+ ˆ−| i ~2 2 − ~2

= j, m J J j, m + m m

=~2|λm−1|2 + ~2m2 − ~2m

=~2[C − (m − 1)m] + ~2m2 − ~2m

=~2C

=~2m1(m1 + 1).

300