Вакарчук І.О. Квантова механіка

Отже, якщо частинка має резонансне значення енерґiї, то коефiцiєнт прозоростi бар’єра точно дорiвнює одиницi. У цьому випадку на ширинi бар’єра вкладається цiле число пiвдовжин хвилi де Бройля: ka = nπ, k = 2π/λ, a = nλ/2. Цiкаво, що цi значення енерґiї збiгаються (враховуючи зсув на сталу U) з енерґетични-

ми рiвнями частинки, що рухається в прямокутнiй потенцiальнiй ямi з безмежно високими стiнками. На рис. 24 зображено графiк залежностi коефiцiєнта прозоростi вiд енерґiї.

Обговоримо питання змiни фази хвильової функцiї при вiдбиваннi та при проходженнi частинки крiзь бар’єр. З виразу для коефiцiєнта A, наведеного вище, для E < U маємо:

Як бачимо, для непрозорого бар’єра, κ → ∞, амплiтуда вiдбитої хвилi набуває стосовно падаючої додаткової фази величиною π:

Як бачимо, хвиля, що пройшла, набуває стосовно вiдбитої хвилi додаткової фази (π/2 − k0a), яку можна регулювати шириною бар’єра i енерґiєю частинки. Для тонкого бар’єра, a → 0, ця додаткова фаза дорiвнює π/2. Причому, коли a → 0, то κa = const.

Тобто ширина бар’єра зменшується, але одночасно збiльшується його висота (δ-подiбний бар’єр).

Цiкавим для прикладних задач є напiвпрозорий бар’єр, коли

√

|C| = |A| = 1/ 2, який очевидно маємо за умови, що

або

p

Ushκa = 2 E(U − E).

241

Розглянемо тепер випадок бар’єра значної ширини та висоти, коли κa & 1, sh κa eκa/2.

У результатi

D = D0e−2κa,

де величина

16κk22

D0 = 1 + κ02 2 ,

k02

причому D0 1, так що

На пiдставi цих формул розглянемо тепер потенцiальний бар’- єр довiльної форми U(x), який розiб’ємо на сукупнiсть прямоку-

тних потенцiальних бар’єрiв (див. рис. 25).

Злiва вiд точки повороту x1 i справа вiд точки повороту x2 кое-

фiцiєнт прозоростi близький до одиницi, оскiльки енерґiя частинки, що налiтає, є бiльшою за потенцiальну енерґiю. Це дає змогу

242

Рис. 25. Розбиття бар’єра на елементарнi прямокутнi бар’єри.

зробити оцiнку коефiцiєнта прозоростi, якщо прийняти, що коефiцiєнт прозоростi крiзь i-тий прямокутний бар’єр шириною xi

Повний коефiцiєнт прозоростi D дорiвнює добутковi парцiальних

коефiцiєнтiв прозоростi

Для достатньо плавної функцiї U(x) та достатньо вузьких парцi-

альних прямокутних бар’єрiв суму Дарбу в показнику експоненти оцiнюємо iнтеґралом i в результатi

Передекспонентний множник D0 має слабку залежнiсть вiд енерґiї E, i в наведенiй оцiнцi коефiцiєнта прозоростi його можна вва-

жати величиною сталою. Задачi, що розглядаються на основi такого пiдходу: α-розпад, холодна емiсiя електронiв з металу пiд

243

дiєю зовнiшнього електричного поля, явище перезарядження йонiв у плазмi, хiмiчнi реакцiї, дисоцiацiя молекул i т. д.

§ 26. Холодна емiсiя електронiв з металу

Явище виривання електронiв з металу сильним електричним полем називають холодною емiсiєю на вiдмiну вiд термоелектронної емiсiї, коли залежнiсть сили струму вiд рiзницi потенцiалiв мiж анодом i катодом у вакуумному дiодi визначається “законом 3/2”.

Розгляньмо просту модель вiльних електронiв, коли потенцiальна енерґiя електрона в металi є постiйною й меншою за її значення поза металом на величину роботи виходу U0. Електрон у металi має перед собою потенцiальний бар’єр висотою U0, але безмежної ширини, i тому коефiцiєнт прозоростi D = 0. Iншу ситуа-

цiю маємо, коли прикладаємо постiйне електричне поле напруженостi E в напрямку до поверхнi металу. До потенцiальної енерґiї додається величина U = qEx, де заряд електрона q = −|e|, x координата, що вiдраховується вiд поверхнi металу. Сила F = qE, що дiє на електрон, за величиною дорiвнює −dU/dx = −qE = |e|E, вектор E має напрямок, протилежний до напрямку осi x, а повна

потенцiальна енерґiя

U(x) = U0 − |e|Ex.

У результатi утворюється потенцiальний бар’єр, ширина якого є скiнченною i тим меншою, чим бiльша напруженiсть поля (див. рис. 26).

Отже, коефiцiєнт прозоростi, що визначає силу струму холодної емiсiї,

де точки повороту

x1 = 0, x2 = U0 − E .

|e|E

244

Рис. 26. Потенцiальний бар’єр для електрона в металi: штрихова лiнiябез поля, суцiльна з полем.

Iнтеґрал

Тепер для коефiцiєнта прозоростi маємо:

Якщо ввести постiйну величину

√

E0 = 4 2m(U0 − E)3/2,

3 |e|~

що залежить лише вiд фундаментальних констант та сорту металу, то сила струму холодної емiсiї, яка є пропорцiйною до величини D,

j = j0e−E0/E .

Таку залежнiсть i спостерiгаємо на дослiдi. Строга теорiя повинна враховувати як потенцiал зображення електрона, що має притягувальний характер, так i розподiл електронiв за енерґiями вiдповiдно до статистики Фермi–Дiрака.

245

§ 27. Теорiя Ґамова α-розпаду важких ядер

Прикладом явища проходження частинки крiзь потенцiальний бар’єр є α-розпад важких ядер. Добре вiдомо, що важкi ядра нестабiльнi щодо α-розпаду. Причому ймовiрнiсть розпаду, як показує дослiд, сильно залежить вiд енерґiї α-частинок, що вилiтають

з ядра.

Теорiю цього явища запропонував Г. Ґамов у 1928 роцi6. Незалежно в цьому ж роцi теоретичне пояснення α-розпаду дали

Е. Кондон i Р. Ґюрнi. Припускається, що в ядрi вже iснує як цiле α-частинка, потенцiальна енерґiя якої зображена на рис. 27.

Отже, на малих вiдстанях r маємо потенцiал ядерних сил, який рiзко спадає на вiдстанях, бiльших за розмiр ядра r0, а на великих вiдстанях це кулонiвська взаємодiя α-частинки (iз зарядом 2|e|) iз залишком ядра, заряд якого Z = Z − 2 (Z за-

ряд ядра, що розпадається). Для прикладу, на рис. 27a зображено потенцiальний бар’єр (суцiльна крива), який є сумою енерґiй кулонiвського вiдштовхування та притягання в полi потенцiалу Юкави, зумовленого обмiном π-мезонами масою mπ:

де Λ = ~/mπc, g константа зв’язку сильної взаємодiї.

Для розрахункiв розгляньмо спрощену модель. При r < r0 яв-

ний вигляд потенцiальної енерґiї в нашiй задачi є несуттєвим, будемо вважати її сталою величиною U0. Отже, потенцiальна енер-

6Автор пiонерської роботи з теорiї радiоактивного розпаду, Георгiй Анто-

нович Ґамов народився в 1904 роцi в Одесi, помер у 1968 роцi в Баулдерi (Колорадо, США). По материнськiй лiнiї походив вiн з української свяще-

ницької родини Лебединцiв. Його дiд, Митрополит Арсенiй Лебединцев, був настоятелем Одеського Собору i правлячим iєрархом православної церкви

Новоросiї. Георгiй Ґамов, в особистому життi людина трагiчної долi, був ученим, що мав майже надприроднi здiбностi ґенерувати несподiванi самородковi iдеї з простим їх тлумаченням. Вiн є автором “гарячого первинного вибуху” (hot Big Bang) теорiї еволюцiї Всесвiту (1948 р.), з передбаченням iснування залишкового релiктового випромiнювання, яке експериментально виявили в 1965 роцi Р. В. Вiльсон та А. А. Пензiас. А пiсля вiдкриття структури молеку-

ли ДНК, яке зробили Д. Ватсон i Ф. Крiк у 1954 роцi, Ґамов перший висунув теорiю, що ця структура мiстить у собi генетичний триплетний код iз чотирьох символiв, через який i вiдбувається вiдтворення живого. Багато цiкавого читач може дiзнатись з його книжки “Моя мировая линия: неформальная автобиография”. М.: Наука, 1994.

246

Рис. 27. Потенцiальний бар’єр для α-частинки в теорiї розпаду важких ядер: а верхня штрихова лiнiя кулонiвське вiдштовхування, нижня

ядерне притягання, суцiльна крива їхня сума, параметр g2/2e2Z = 10; б модель.

ґiя (див. рис. 27 б)

i коефiцiєнт прозоростi такого потенцiального бар’єра

де E енерґiя α-частинки, що покидає ядро, а класичну точку повороту r1 визначаємо з рiвняння 2e2Z /r1 = E.

Використання цiєї формули для коефiцiєнта прозоростi бар’є- ра в тривимiрному випадку вимагає пояснення. По-перше, ми розглядаємо лише радiальний рух, для якого рiвняння Шрединґера формально зводиться до одновимiрного, як буде показано пiзнiше. По-друге, приймаємо, що орбiтальний момент кiлькостi руху α-

частинки дорiвнює нулевi.

Уведемо нову змiнну iнтеґрування x таку, що r = r1x2. Тепер

247

Г Л А В А V

ЗВ’ЯЗОК КВАНТОВОЇ МЕХАНIКИ З КЛАСИЧНОЮ

§ 28. Перехiд вiд квантових рiвнянь руху до класичних

Аналогом класичних рiвнянь Гамiльтона у квантовiй механiцi є операторнi рiвняння, якi творять змiст теореми Еренфеста:

Розглядаємо для простоти одновимiрний рух частинки масою m у полi з потенцiальною енерґiєю U = U(x). Установимо, якi дiї i на-

ближення необхiдно зробити для переходу до класичних рiвнянь Гамiльтона

p x˙ = m,

p˙ = −∂U∂x

або рiвняння Ньютона

mx¨ = −∂U∂x .

Зрозумiло, що у квантових рiвняннях потрiбно перейти вiд операторiв xˆ, pˆ до середнiх значень hxi, hpi, визначених на деякiй хвильовiй функцiї ψ(x, t). Розглянемо хвильову функцiю ψ(x, t), яка зосереджена в достатньо малiй дiлянцi x так, щоб можна було говорити про локалiзацiю частинки. Тобто ψ(x, t) є хвильовим

249

пакетом. Зокрема, це може бути мiнiмiзуючий хвильовий пакет, який ми дослiджували ранiше:

x = x − hxi.

Якби hxi змiнювалось за законами класичної механiки, а розмiри

хвильового пакета з часом не змiнювались, то рух хвильового пакета |ψ(x, t)|2 можна було б трактувати як рух матерiальної точки,

що пiдкоряється законам класичної механiки. Однак нi перше, нi друге не вiдбувається: хвильовий пакет iз часом розпливається, а рух його центра “ваги” не задовольняє рiвняння Ньютона. Розглянемо цi проблеми докладнiше.

Спочатку дослiдимо на простому прикладi розпливання хвильових пакетiв iз часом. Нехай заданий хвильовий пакет у початковий момент часу t = 0:

Для спрощення викладок уважаємо, що hpi = 0, hxi = 0. Припу-

стимо, що з часом форма пакета не змiнюється, тобто хвильова функцiя зберiгає характер ґауссового розподiлу, i тому покладаємо

ψ(x, t) = e−ax2−b,

де невiдомi величини a = a(t), b = b(t) задовольняють початковi

умови:

a0 = a(0) = 1/4h(Δx)2i0,

b0 = b(0), e−b0 = 1/ 2πh(Δx)2i0 1/4 .

Хвильова функцiя ψ(x, t) повинна задовольняти рiвняння

Шрединґера. Розглянемо рiвняння для вiльної частинки:

250