Вакарчук І.О. Квантова механіка

знак “+” для x > 0, знак “−” для x < 0. Якщо б не було цiєї змiни знака, породженої модулем |x| в U, то ми мали б задачу про лiнiйний гармонiчний

рез точку x = 0 суттєво змiнює ситуацiю, i ми повиннi знаходити розв’язки рiвняння Шрединґера, подiбно як i для |x|-осцилятора.

Отже, загальним розв’язком рiвняння Шрединґера з нашим гамiльтонiаном є добре вiдомi функцiї параболiчного цилiндра D−a−1/2(z), де знерозмi-

p

рена змiнна z = (x ± α/mω2)/ ~/2mω, параметр a = −(E + α2/2mω2)/~ω

(див. поданий в текстi цього параграфа довiдник зi спецiальних функцiй). З умов зшивання хвильових функцiй та їхнiх похiдних в точцi x = 0 знаходимо рiвняння для визначення рiвнiв енерґiї E, якi, взагалi кажучи, потребують

чисельних розрахункiв (ми їх тут не наводимо).

Можна, однак, знайти “квазiточнi” розв’язки (термiнологiю див. у §18): пiдберемо параметри потенцiалу ω2, α так, щоб величина a = −(n + 1/2), n =

Параметри потенцiалу знаходимо з умов зшивання хвильової функцiї та її похiдної в точцi x = 0:

що або Hn(ξ0) = 0 перший розв’язок, або ξ0Hn(ξ0) = 2nHn−1(ξ0) другий розв’язок, а енерґiя En = ~ω(n + 1/2 − ξ02/2). Тепер потрiбно мати лише явнi вирази для полiномiв Ермiта (див. §21). Зокрема, якщо n = 0, то перше рiвняння не має розв’язку, а друге дає ξ0 = 0 з енерґiєю основного стану гармонiчного осцилятора ~ω/2. При n = 1 перший розв’язок дає ξ0 = 0, а енерґiя

Очевидно, що цi власнi значення енерґiї не вичерпують усього її спектра, а дають лише деяку сукупнiсть рiвнiв для конкретних зв’язкiв мiж параметрами гамiльтонiану.

231

Приклад 2. Використовуючи узагальнену теорему вiрiала (див. Приклад 1 до §21), обчислити середнi значення степенiв координати для |x|-осцилятора.

Узагальнена теорема вiрiалу:

4hϕ′(E − U)i + ~2hϕ′′′i/2m − 2hϕU′i = 0,

тут E власне значення енерґiї, ϕ = ϕ(x). Спочатку розглянемо випадок

“обрiзаного” |x|-осцилятора, x ≥ 0, U = αx. Покладаючи ϕ = xk, k = 1, 2, . . .

знаходимо:

власнi значення εn поданi в таблицi до цього параграфа. Цi вирази ми отримали для непарних значень квантового числа n = 1, 3, . . ., оскiльки мали умову

x ≥ 0.

Для “необрiзаного” |x|- осцилятора наше рiвняння з ϕ = xk для парних значень k задовольняється тривiально, а для непарних дає середнi вiд непарних степенiв |x|,

для визначення яких потрiбно мати середнi вiд парних степенiв x. Останнi знаходимо з того ж рiвняння пiстановкою ϕ = |x|xk з непарними степенями k (парнi k задовольняють рiвняння тривiально) з урахуванням того, що |x|′ = sign(x), sign′(x) = 2δ(x), δ′(x) = −δ(x)d/dx, xδ(x) = 0 (штрих означає похiдну

за x), ϕ′(x) = (k + 1)|x|xk−1, ϕ′′′ = 4δ(x) для k = 1, ϕ′′′ = k(k − 1)(k + 1)|x|xk−3

для k = 3, 5, . . . ,:

тових станiв i дорiвнюють 0.700555, −0.392341, 0.322075, −0.284825, 0.260428, −0.24270 вiдповiдно для n = 0, 2, 4, 6, 8, 10. Для непарних станiв ψn(0) = 0 шуканi середнi збiгаються зi знайденими вище для “обрiзаного” |x|-осцилятора iз замiною x на |x|.

232

§25. Проходження частинки крiзь потенцiальний бар’єр

Укласичнiй механiцi рух частинки є неможливим, якщо рiзниця мiж її повною енерґiєю E та потенцiальною U є вiд’ємною

величиною, це означає, що кiнетична енерґiя, за означенням, величина додатна, стала б вiд’ємною. У квантовiй механiцi ймовiрнiсть перебування частинки в областi, де E − U < 0, вiдмiнна

вiд нуля. Це видно, зокрема, i з розв’язку задачi для гармонiчного осцилятора: хвильова функцiя у цiй областi експоненцiально спадає, але вiдмiнна вiд нуля. Це, зрозумiло, не означає, що кiнетична енерґiя частинки є вiд’ємною. Легко переконатись, що її середнє значення (а саме середнє значення є вимiрюваною величиною) величина додатна.

Розглянемо рух частинки для одновимiрного випадку з потенцiальною енерґiєю U = U(x), яка зображена на рис. 22.

Якщо частинка, яка рухається злiва направо, має енерґiю E, меншу вiд максимального значення U(x), то у класичному випад-

ку вона не зможе подолати цього потенцiального бар’єра, а зупиниться в точцi x1, коли E = U(x1), пiсля чого буде рухатись

упротилежному напрямку тобто вiдiб’ється вiд бар’єра. Коор-

динату x1 називають класичною точкою повороту. У квантовiй

механiцi можливим є рух i в “забороненiй зонi” мiж класичними

точками повороту x1 ≤ x ≤ x2, тому що хвильова функцiя в цiй

областi, хоча й значно зменшується, однак є вiдмiнною вiд нуля, отже, i ймовiрнiсть перебування частинки у цiй “забороненiй зонi” вiдмiнна вiд нуля. Виникає цiкава задача розрахунку ймовiрностi проходження частинки крiзь такий потенцiальний бар’єр. Це iнший тип задач, нiж задача на власнi значення та власнi функцiї: енерґiя частинки є вiдомою величиною, вона нам задана, необхiдно знайти лише хвильову функцiю.

Припустимо, злiва на бар’єр налiтає частинка iз заданою гус-

тиною потоку ймовiрностi j0. Нехай частина j1 цього потоку описує рух пiсля вiдбивання частинки вiд бар’єра, а j2 це потiк справа вiд бар’єра, тобто в областi x > x2. Очевидно, згiдно з за-

коном збереження потоку,

j0 = j1 + j2.

Уведемо експериментально вимiрюванi величини: вiдношення

D = j2/j0,

233

Рис. 22. Потенцiальний бар’єр.

яке будемо називати коефiцiєнтом проходження крiзь бар’єр або коефiцiєнтом прозоростi бар’єра, та величину

R= j1/j0

коефiцiєнт вiдбивання вiд бар’єра. Очевидно, що

D + R = 1.

Нагадаємо також, що густина потоку ймовiрностi розраховує-

Для розрахунку величини D та R необхiдно знайти хвильову функцiю частинки злiва вiд бар’єра x < x1, справа вiд нього x > x2 та всерединi бар’єра x1 ≤ x ≤ x2 з урахуванням неперервностi хви-

льової функцiї та її першої похiдної (потоку) в класичних точках повороту x1 та x2.

Спростимо нашу задачу i вiзьмемо як модель прямокутний бар’єр (див. рис. 23), коли потенцiальна енерґiя

234

Коефiцiєнт A1 амплiтуда падаючої на бар’єр хвилi, A2 амплiтуда хвилi вiдбитої вiд бар’єру. У другiй областi 0 ≤ x ≤ a хвильову функцiю ψ2 = ψ2(x) визначаємо з рiвняння

~2 d2ψ2

−2m dx2 + Uψ2 = Eψ2

i

де хвильове число

235

Нарештi, у третiй областi для ψ3 = ψ3(x) отримуємо:

~2 d2ψ3

−2m dx2 = Eψ3,

ψ3(x) = C1eik0x + C2e−ik0x.

Коефiцiєнт C1 має змiст амплiтуди хвилi, що пройшла за бар’-

єр. Оскiльки вiдбитої хвилi, яка б рухалась у напрямку початку координат, у цiй областi немає, то коефiцiєнт C2 = 0.

Тепер знаходимо потоки у вiдповiдних областях:

236

Використовуючи явний вигляд хвильових функцiй, знаходимо рiвняння для коефiцiєнтiв A2, B1, B2 та C1 (коефiцiєнт A1 задається падаючим потоком j0):

Розглянемо спочатку випадок E > U, коли величина k є дiйсною. Подiлимо всi рiвняння на A1, позначаючи

Додамо третє i четверте рiвняння цiєї системи, попередньо помноживши останнє на k0/k,

237

Отже, отримаємо

Пiдставимо цi вирази у два перших рiвняння, попередньо помноживши друге на k/k0, знайдемо рiвняння для вiдносних амплiтуд A та C:

238

Якщо тепер взяти рiзницю наших рiвнянь для коефiцiєнтiв A та C, то знайдемо, що

i нарештi, маємо вiдносну амплiтуду хвилi, що вiдбилась вiд бар’- єру:

Урахуємо тепер явний вигляд величин k та k0 i остаточно для

E ≥ U

Для коефiцiєнта вiдбивання R = 1 − D знаходимо

239

Цi результати легко перенести на випадок E < U, зробивши

аналiтичне продовження. Маємо r

У випадку, коли енерґiя частинки, що налiтає на бар’єр, дорiвнює його висотi, коефiцiєнт прозоростi

З цього ж виразу видно також, що при ka = nπ, n = 1, 2, . . .

величина D = 1. Стани з такими значеннями енерґiї частинки

називають резонансними станами:

240