1. Множина дійсних чисел. Упорядкованість, щільність, повнота множини дійсних чисел.

Множина дійсних чисел складається із множини раціональних та ірраціональних чисел. Раціональним називається число, яке можна подати у вигляді звичайного дробу , деp, q − цілі числа, причому . Ірраціональним називається дробове число, що не може бути виражене відношенням цілих чисел.

Для будь-яких дійсних чисел a, b має місце одне із співвідношень: Відношення "=" має властивість: якщоі, то.Для будь-яких дійсних чисел a, b, c виконуються наступні аксіоми:

• Якщо і, то.

• Якщо , то.

• Якщо і, то.

Існує єдине число 0, таке, що для будь-якого числа.

Для будь-якого числа існує таке число, що(числоназивається протилежним числу).

Існує єдине число 1, таке, що для будь-якого числа.

Для будь-якого числа існує таке число, що; числопозначається також символомі називається оберненим до.

Нехай і дві множини, які складаються із дійсних чисел. Тоді, якщо , виконується нерівність, то існує принаймні одне дійсне число, для якого виконується нерівність.

_{Теорема (Дедекінда).} Для будь-якого перерізу у множині дійсних чисел існує число, яке здійснює цей переріз. Це число буде або найбільшим в нижньому класі А. або найменшим у верхньому класі

2. Числова послідовність. Види числових послідовностей. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей.

Послідовністю називається ф-я натурального аргумента, тобто коли кожному натуральному числу n ставиться у відповідність дійсне число.

Види:обмежені(знизу,зверху);монотонні(зрост.,спадні)

Послідовність називається зростаючою (спадною), коли при збільшенні(зменшенні) n члени послідовності зростають (зменшуються), тобто якщо при n₁<n₂ ().

Послідовність називається обмеженою з верху, якщо: Існує МєR : ¥ nєN n_n≤M

Число називаєтьсяграницею послідовності якшо для довільного існує таке натуральне число, яке залежить від, що для всіхвиконується нерівність.

Якщо послідовність має границею число а, то кажуть, що вона збігається до ч.а і її називають збіжною (в прот. випадку - розбіжною).

Теорема1. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

Доведення.

Припустимо супротивне. Нехай послідовність має дві границі . Виберемоa<b . Візьмемо довільне , таке, щоб. Знайдемо числаі, при яких, а для. Якщо вибратиN більшим з чисел N₁ N₂ , то і, що неможливо, тому що.

Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Доведення.

Нехай . Тоді в будь-якийокіл точкипотрапляють всіза винятком хіба лише скінченного числа точок. Нехай, починаючи з, всіпотрапили до околу. Виберемо з чиселнайбільше за модулем М. Тодідля. Виберемо. Тоді для, тобто послідовність -- обмежена.

Теорема 3. Якщо для послідовностей і, що мають скінченні (не обов'язково) границіі, і починаючи з деякого номера для всіх наступних членів виконуються нерівностіабо, то.

Теорема4. Якщо з трьох послідовностей ,,дві мають одну й ту саму границю, і при всіх, починаючи з деякого номера, справджуються нерівності, то.

Дійсно, нехай дано . Оскільки, то існує таке, що, Оскільки, то існує таке, що. Нарешті , нехай нерівностісправджуються при всіх. Виберемо тепер. Тодівсі нерівності справджуватимуться одночасно :,,, звідси, або. Це означає, що.

Лема.Якщо послідовність {y_n}, y_n≠0 має границю, відмінну від нуля, то послідовність обмежена.

Д-ня: Нехай . Тоді для будь-якого δ>0 існує такеN(δ), що виконується нерівність. Якщоb>0, то вибираємо δ таким чином, щоб виконувалася нерівність b–δ>0. Тоді .Вибравши–>. Взявши з чисел,,…,,M’ і позначивши його через M, отримаємо, що , це означає, що посл-тьобмежена.■