Студентам ИТ / 2 УПП_ИТ / Основн_литература / ИТ (Excel) / ИТ_автоматизир_управления

та - на 60%. Далее заказчик проводит испытание двух единиц оборудования. Если оба испытания неудачны, то каково будет мнение заказчика о производителе и эксперте?

Решение: примем за A событие двух неудач;

Pr(A Г1) = 0,02 *0,02 = 0,0004; Pr(A Г2) = 0,1 *0,1 = 0,01.

Тогда

Pr(A) = Pr(Г1) Pr(A Г1) + Pr(Г2) Pr(A Г2) = = 0,4*0,0004 + 0,6*0,01 = 0,00616;

2.3.Вероятностное описание объектов управления при повторении опытов.

Пусть производятся сделки с различными фирмами. Результатом каждой сделки может быть некоторое событие A (успех). Нас интересует общее число успехов.

В общем случае говорят, что производят несколько опытов, приводящих к событию A в каждом из них. Необходимо уметь определять вероятность любого заданного числа появления события A в результате серии опытов.

Частная теорема и повторение опытов.

Задача решается наиболее просто, когда опыты являются

независимыми.

Например, мы выбрали наугад несколько магазинов Москвы и хотим купить один и тот же товар. Если все данные магазины получают товар от различных поставщиков (с различных баз), то наши опыты независимы. Вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

В этом случае вероятность события A во всех опытах одинакова – Pr(A) = p.

41

Пример 2.3.1: проводятся переговоры о заключении сделки с тремя фирмами. Вероятность заключения сделки – p.

Найти вероятность того, что мы заключим хотя бы две сделки.

Решение: обозначим: B23 – событие заключения двух сделок в трех опытах; A1 – событие заключения сделки с 1-ой фирмой; A2 – событие заключения сделки со 2-ой фирмой; A3 – событие заключения сделки с 3-ей фирмой.

Событие B23 (заключения двух сделок в трех опытах) может произойти тремя независимыми способами (вариантами), как показано на рис. 2.3.1:

1)сделка A1, сделка A2, не заключение сделки A3 ;

2)сделка A1, не заключение сделки A2 ; сделка A3 ;

3)не заключение сделки A1 , сделка A2, сделка A3 .

A1 A2A3

Рис. 2.3.1

Следовательно:

B23 = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 .

Так как все три варианта несовместимы, а события A1 , A2 и A3 независимы, то

Pr(B23) = Pr(A1 A2 A3 ) + Pr(A1 A2 A3 ) + Pr( A1 A2 A3) = = pp(1 – p) + p (1 – p) p + (1 – p) p p.

Обозначая 1 – p = q, получим

42

Пример 2.3.2: производится «N» независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие A. Вероятность появления события A – Pr(A) = p, а вероятность не появления – q = 1 – p. Требуется найти вероятность PrMN(A) того, что событие A в этих «N» опытах появится ровно «M» раз.

Решение: используя технику примера 2.3.1, получим

В каждом слагаемом (2.3.2) событие A входит «M» раз, а A – «N-M» раз. Тогда

M N-M M N-M С M M N-M

Pr(BMN) = p q + … + p q = N p q ,

(2.3.3)

СM

N раз

Nпо M.

Всвязи с тем, что вероятность Pr(BMN) в (2.3.3) по форме представляет собой члены разложения бинома

распределение вероятности Pr(BMN) называют биномиальным распределением.

Общая теорема и повторение опытов.

Пусть вероятность появления события A в «i»-ом опыте – pi , а вероятность не появления – qi = (1 - pi), где i = 1, 2, …, N). Запись

43

описывает событие, состоящее в том, что событие A появилось «M» раз в «N» опытах. Тогда

Для расчета вероятности Pr(BMN) вводят вспомогательную, так называемую, производящую функцию

N(z) = (q1 + p1 z) (q2 + p2 z) … (qN + pN z) =

Оказывается, что все коэффициенты PmN данной функции в точности равны вероятностям Pr(BmN) появления события A ровно «m» раз в «N» опытах

= 1) и из того, что события B0N, B1N, B2N, …, BNN образуют полную группу несовместных событий (так как PmN – вероятность

появления события A «m» раз в «N» опытах). Групповые события.

Обозначим CMN событие, состоящее в том, что событие A появится не менее «M» раз в «N» опытах. Очевидно, что

CMN = BMN + BM+1N + … + BNN ,

Pr(CMN) = Pr(BMN) + Pr(BM+1N) + …+ Pr(BNN) =

44

Пример 2.3.3: проводится 4-ре независимых переговоров с 4-мя фирмами о заключении одного и того же соглашения (A).

Найти вероятности: P04 – вероятность ни одного соглашения; P14 – вероятность одного соглашения; P24 – вероятность двух соглашений; P34 – вероятность трех соглашений; P44 – вероятность четырех соглашений.

Решение: воспользуемся производящей функцией из

(2.3.7)

4(z) = (q1 + p1 z) (q2 + p2 z) (q3 + p3 z) (q4 + p4 z) =

=(0,9 + 0,1 z) (0,8 + 0,2 z) (0,7 + 0,3 z) (0,6 + 0,4 z) =

=0,302 + 0,440 z + 0,215 z2 + 0,040 z3 + 0,002 z4 .

Таким образом P04 = 0,302; P14 = 0,440; P24 = 0,215; P34 = 0,040; P44 = 0,002.

Пример 2.3.4: при поиске делового партнера среди всех возможных менеджер 4-ре раза обратился к одной и той же фирме по телефону. Вероятность телефонной связи с этой фирмой при каждом обращении равна p = 0,3 (3 связи при 10-ти звонках). Известно также, что для успешного заключения контракта достаточно двух переговоров с фирмой. При однократном переговоре вероятность заключения контракта равна 0,6. Найти вероятность события A – заключения контракта с фирмой.

Решение: выдвинем две гипотезы: Г0 – связь с фирмой не состоялась; Г1 – связь с фирмой состоялась 1 раз. Рассчитаем

вероятность Pr( A ) не заключения контракта с фирмой

Pr( A ) = Pr(Г0) Pr( A Г0) + Pr(Г1) Pr( A Г1).

Pr(A) = 1 – Pr( A ) = 0,595.

45

2.4.Функции распределений вероятностей непрерывных случайных величин.

Случайные величины и законы их распределений.

Рассмотренные в разделах 2.1 2.3 вероятностные описания ЭО были в основном связаны с дискретными случайными величинами, характеризовавшими как их динамические переменные, так и параметры структурного описания. Любая вели-

чина называется дискретной случайной величиной, если множе-

ство ее возможных значений конечно или счетно и принятие ею каждого из указанных значений есть случайное событие с определенной вероятностью.

Для вероятностного описания состояний ЭО зачастую ис-

пользуют непрерывные случайные величины, характеризующие их динамические переменные, и функции их распределения.

Функцией F(s) распределения вероятностей случайной величины S называется вероятность того, что она примет значение, не превосходящее число s

Если функция распределения F(s) непрерывна и дифференцируема, то ее производная F(s)/ s называется плотностью распределения вероятностей p(s). Тогда функцию распределе-

ния вероятности можно определить как

Из определения функции F(s), что она не убывает с ростом своего аргумента s.

В принципе, по аналогии с (2.4.2) можно ввести функцию распределения вероятностей и для дискретной случайной величины

Заметим, что у дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая, т.к. отражает сумму накопленных вероятностей Pr(x) случайных величин. Значение функции F(s) изменяется скачком при переходе с одного дискретного значения s на другое, как показано на рис. 2.4.1.

46

1 F(s

Рис. 2.4.1

Нормальная плотность распределения вероятностей.

В силу того обстоятельства, что любая помеха H, сопутствующая какой либо динамической переменной или параметру структурного описания ОУ, зависит от огромного числа возмущающих факторов, возможно выдвинуть гипотезу о ее нормальном распределении, опираясь на центральную предельную теорему.

Как известно, центральная предельная теорема гласит, что распределение суммарного (аддитивного) значения бесконечно большого числа независимых случайных величин описывается нормальным законом Гаусса (независимо от законов распределений этих величин). В условиях выдвинутой гипотезы, плотность распределения вероятностей p(H) или отклонений H = S –S «N»-компонентного вектора состояния S от центрального (наиболее вероятного) вектора состояния S ОУ определяется многомерным нормальным законом распределения

pнор(H) = pнор(S) =

= exp[– (S – S )+ COV-1(S – S )]/(2 )N/2 COV 1/2, (2.4.4)

где (S – S )+ - транспонированный вектор (S – S ), COV – ковариационная матрица размера N *N

Закон (2.4.4) можно рассматривать как закон распределения плотности вероятности помех H, так и самих случайных векторов состояний S.

47

В (2.4.4) и (2.4.5) – операция математического ожидания, т.е. теоретического усреднения или усреднения по генеральной совокупности (см. подразделы «Статистики наблюдений …» и «Несмещенность …»); COV-1 – матица, обратная COV,COV - детерминант матрицы COV. Выражаясь конкретнее, если Sn есть “n”-ый компонент S, Sk есть «k»-ый компонент S , а covnk есть «nk»-ый компонент COV, то

есть дисперсия (вариация) Sn, где n называется среднеквадра-

тичным или стандартным отклонением Sn от Sn . Если Sn и Sk статистически независимы, то covnk = 0 для n k . В этом случае

т.е. многомерный нормальный закон распределения описывается произведением N одномерных нормальных законов

Нормальные законы распределений (одномерные и многомерные) широко используются при описании стохастических состояний ОУ даже в тех случаях, когда не выполняются условия центральной предельной теоремы. Тогда распределение (2.4.4) является некоторой моделью некоего истинного распре-

деления Prист(S).

Привлекательность распределений типа (2.4.4) связана с тем, что они являются параметрическими, т.е. зависят от конеч-

ного числа параметров S , COV.

Наглядное представление нормальной двумерной плотности распределения для двумерного вектора состояний S =(S1, S2) приведено на рис. 2.4.2 в виде функции двух переменных (рис. 2.4.2а) и в виде диаграммы разброса случайных выборок (рис. 2.4.2б).

48

pнор(S1, S2)

Рис. 2.4.2

Выборки нормально распределенной случайной величины имеют тенденцию попадать в одну область или кластер .. Центр кластера определяется вектором S среднего значения, а форма – ковариационной матрицей COV. Из (4.4.4) и рис. 2.4.2б следует, что точки постоянной плотности образуют эллипсоид (в многомерном случае – гиперэллипсоид), для которого квадра-

тичная форма (S – S )+ COV –1(S – S ) постоянна. Главные оси этого гиперэллипсоида задаются собственными векторами ковариационной матрицы COV.

Нормальное распределение обладает следующими важными свойствами:

- нормальная случайная величина S с математическим

ожиданием S и стандартным отклонением с вероятностью близкой к 1 попадает в интервал (правило трех сигм)

( S - 3 ) S ( S + 3 );

- если случайная величина S распределена по нормальному закону с математическим ожиданием S и стандартным откло-

где Ф – интеграл ошибок, определяемый (2.4.2) и (2.4.9).

Пример: некая фирма имеет среднюю доходность по своим акциям S = 15%, а стандартное отклонение = 3,87%. Од-

49

Истинное распределение может описываться совершенно произвольным законом. Во многих случаях закон распределения неизвестен, и его необходимо оценивать. Пусть p*(S) – оценка истинной плотности распределений pист(S). Будем искать такую оценку, которая обеспечивает минимизацию среднеквадратичной ошибки

50