Студентам ИТ / 2 УПП_ИТ / Основн_литература / ИТ (Excel) / ИТ_автоматизир_управления

Отношения на множествах. Отношением «R» – го типа или просто отношением R на множествах A и B (записывается как ARB) называется «R»-ое подмножество прямого произведе-

ния A B множеств A и B.

Отношения на множествах A и B являются бинарными или парными отношениями. По аналогии с такими отношениями легко ввести отношения на множествах A и B и C (триарные отношения), A и B и C и D (четыреарные отношения) и т.д..

Любое отношение устанавливает определенную связь между элементами множеств. Для парных отношений такая связь может быть описана с помощью рис. 2.1.5.

В отношениях выделяют области определения и области значений, устанавливая тем самым несимметричную связь между элементами множеств, входящих в отношения

X(R) = {x: x A, (x, y) R} - область определения отношения R включает все элементы множества A, входящие в множество ARB;

Y(R) = {y: y B, (x, y) R} - область значений отношения R включает все элементы множества B, входящие в множество ARB.

Пример:

множество родителей = A = {Иванов И.И., Иванова А.А., Петров П.П., Петрова В.В.},

множество детей = B = {Иванов С.И., Петрова Г.П.}.

31

Семья Ивановых описывается отношением R1

Отношения можно описывать также с помощью направ-

ленных графов. Так, например, если X = {x1, x2, x3, x4}, а Y = {y1, y2, y3, y4), то отношение XRY = {(x1, y1), (x1, y4), (x4, y2)} можно изобразить, как показано на рис. 2.1.6.

Функции и отображения множеств. Если между X и Y установлено однозначное отношение f, то это отношение является функцией или функциональным отношением. Функциональное отношение X f Y записывается как y = f(x) или f : X Y.

Функция f : X Y является отображением, если ее область определения совпадает с X.

32

Примеры:

1) Товары и цены (см. рис. 2.1.7):

Товары = X = {телевизор Sony, магнитофон Panasonic, фотокамера Samsung},

Цены = Y = {$500, $200, $2000},

Рис. 2.1.7

2) Образы (см. рис. 2.1.8 а, б, в):

33

Алгебра событий (теоремы сложения и умножения).

Алгебра событий строится путем их отождествления с элементами множеств.

Сложения вероятностей – вероятность объединения множеств:

Несовместные события (рис.2.1.9):

E

Рис.2.1.9

34

K

Очевидно, что если k 1 Ak = E (полная группа несов-

K

местных событий), то Pr( k 1 Ak ) = 1, что следует из опреде-

ления универсального множества. Действительно, т.к. универсальное множество это множество всех возможных событий, то какое либо событие обязательно достоверно.

Пример: пусть E = множество фруктов = {апельсины, бананы, яблоки}. При этом известно количество фруктов каждого сорта, как показано на рис. 2.1.10.

Необходимо найти вероятности появления фруктов каждого сорта при их выборке по отдельности и в парных сочетаниях.

Рис. 2.1.10

Очевидно, что Pr ( a + a ) = Pr ( a + б + я) = 1, Pr ( a ) =

=10(10 + 30 + 20) = 1/6, Pr (б) = 30/(10 + 30 + 20) = 1/2, Pr (я) =

=10/(10 + 30 + 20) = 1/3, Pr ( a + б) = Pr ( a ) + Pr (б) = 1/6 + 1/2 =

= 4/6, Pr ( a + я) = Pr ( a ) + Pr (я) = 1/6 + 1/3 = 3/6, Pr (б + я) = = Pr (б) + Pr (я) = 1/2 + 1/3 = 5/6.

Совместные события (рис. 2.1.11 и 2.1.12):

Рис. 2.1.11

35

ABС

AС

BС

С

Рис. 2.1.12

=Pr(A + B) + Pr(C) – Pr((A + B) C) =

=Pr(A) + Pr(B) – Pr(AB) + Pr(C) –

–Pr(A C + B C) = Pr(A) + Pr(B) + Pr(C) –

–Pr(AB) – Pr(A C) – Pr(B C) + Pr(ABC).

Применяя (2.1.9) и (2.1.10) к общему случаю, получим

Pr( K Ak ) = K Pr( Ak ) – K K Pr( A A ) + k 1 k k n k n

Если события A и B независимы, то Pr(B A) = Pr(B) и

Pr(A B) = Pr(A), а

Pr(A B) = Pr(A) Pr(B).

36

В общем случае для независимых событий Ak справедли-

во

2.2.Вероятностное описание объектов управления при однократных опытах. Формулы Байеса.

Так как Pr(A B) = Pr(B A), то Pr(A) Pr(B A) = Pr(B)

Pr(A B). Следовательно справедливы формулы (Байеса)

Пример 2.2.1: предприятие производит N = x + y + z + w автомобилей с различными двигателями и кузовами, как показано в таблице 2.2.1.

Какова вероятность покупки автомобиля с кузовом типа C при условии, что двигатель будет типа А?

Решение: используя понятие частости событий и формулы Байеса (2.2.1) получим

x

Pr(С A) = x z ,

37

N

Формула полной вероятности.

Пусть событие A происходит вместе (совместно) с одним из событий Г1, Г2, …, ГK, образующих полную группу несовместных событий. Напомним, что для полной группы несовместных событий справедливо

Будем называть такие события гипотезами, а вероятности Pr(Гk) – априорными вероятностями гипотез.

Тогда возможно определить полную вероятность наступления события A

Пример 2.2.2: фирма управляется двумя менеджерами. Предположим, что при работе двух менеджеров отрицательные эффекты происходят с вероятностью q12, 1-го менеджера – с вероятность q1, 2-го менеджера – с вероятность q2, при отсутствии менеджеров – с вероятностью q0. Пусть 1-ый менеджер имеет частоту принятия верных решений по парированию отрицательных эффектов p1, 2-ой - p2. Все отрицательные эффекты независимы друг от друга. Найти вероятность парирования отрицательных эффектов в фирме.

Решение: рассмотрим гипотезы

Введем событие A, как парирование отрицательных эффектов в фирме. Тогда

Используя формулу (2.2.3), получим

Pr(A) = Pr(Г12) Pr(A Г12) + Pr(Г1) Pr(A Г1) +

+Pr(Г2) Pr(A Г2) + Pr(Г0) Pr(A Г0) =

=p1 p2 (1 - q12) + p1 (1 - p2) (1 - q1) +

+p2 (1 - p1) (1 - q2) + (1 - p1) (1 - p2) (1 – q0).

Полная формула Байеса.

Как изменятся априорные вероятности гипотез Pr(Гk) после опыта, в результате которого наблюдается событие A ?

Заменяя в формуле Байеса (2.2.1) B на Гk и используя (2.2.3), получим апостериорную вероятность (вероятность после опыта)

Pr(Гk A) = Pr(Гk) Pr(A Гk) / kK 1 Pr(Гk )Pr( A Гk ) . (2.2.4)

Пример 2.2.3: на рынок поставляются приборы (стиральные машины). Известно, что 40% из них собираются из высококачественных деталей. Для приборов, собранных из высококачественных деталей, вероятность безотказной работы за время гарантии – 95%. Для приборов, собранных из обычных деталей, вероятность безотказной работы за время гарантии – 70%. Фирма закупила прибор и испытала его в течении времени гарантии. Прибор работал безотказно.

Какова вероятность того, что прибор собран из высококачественных деталей?

Решение: введем гипотезы

Г1 - прибор собран из высококачественных деталей; Г2 - прибор собран из обычных деталей.

39

Априорные вероятность гипотез до опыта:

Pr(Г1) = 0,4; Pr(Г2) = 0,6.

Пусть A – событие безотказной работы в течение времени гарантии. Тогда

Pr(A Г1) = 0,95; Pr(A Г2) = 0,7. Следовательно, на основании (2.2.3) получим

0,4 * 0,95 = 0,4 * 0,95 0,6 * 0,7 = 0,475.

Отсюда видно, что испытание повысило вероятность априорной гипотезы.

Пример 2.2.4: два брокера на бирже независимо друг от друга делают ставки. Вероятность выигрыша для 1-го – 80%, для 2-го – 40%. Обнаружен выигрыш одного из них. Каковы апостериорные вероятности выигрышей брокеров?

Решение: примем за A событие выигрыша одним из брокеров и введем априорные вероятности

Pr(A Г0) = 0; Pr(A Г12) = 0; Pr(A Г1) = 1; Pr(A Г2) = 1.

Таким образом, факт выигрыша повышает шанс выигрыша брокера, обладающего большей квалификацией.

Пример 2.2.5: фирма-производитель утверждает, что надежность ее оборудования – 98%. Заказчик назначает аудитора (эксперта) и тот утверждает, что надежность - 90%. Заказчик сам считает, что заявление изготовителя верно на 40%, а экспер-

40