Упражнения

1. Доказать, что композиция двух инъекций является инъекцией.

2. Доказать, что композиция двух сюръекций является сюръекцией.

3. Доказать, что композиция двух биекций ― биекция.

4. Какими свойствами обладают соответствия:

a) ,   ;

б) , ;

в) ,   ;

г),   ;

д),   ;

е) ,   ;

Бинарные отношения и их свойства Отношения

Если дано соответствие и X = Y, то f называют отношением во множестве X. Примерами отношений в R могут служить: ;  ; ; и т.п.

Если X = М, где М ― множество прямых, то ; и т.д.

Таким образом, отношение есть частный случай соответствия и поэтому все свойства соответствий справедливы и для отношений, однако, для отношений вводятся еще дополнительные свойства  такие, как рефлек­сивность, симметричность, транзитивность и т.д.

Отношениеf на множестве X называют рефлексивным, если , х f x.

П р и м е р 1: Пусть , . Это отношение рефлексивно, т.к. каждое действительное число, отличное от нуля, делится само на себя, т.е. .

Отношение f на множестве X называют антирефлексивным, если , то есть график этого отношения не содержит ни одной пары вида , или ни один элемент не имеет «петли».

П р и м е р 2:  Пусть , . Это отношение антирефлексивно, так как любое действительное число не больше самого себя.

Отношениеf на множестве X называют симметричным, если .

График симметричного отношения вместе с парой    содержит и пару , или же: если есть стрелка из х в у, то и есть стрелка и из y в x.

П р и м е р 3:   Если X = М, , то это отношение будет симметричным, так как если прямая x параллельна прямой y, то и прямая y параллельна прямой x.

Отношение f на множестве X называют асимметричным, если одновременно, то есть если график этого отношения содержит пару , то не содержит пару или, если из x в y приходит стрелка, то из y в x ее нет.

П р и м е р 4: Пусть , . Это отношение асимметрич­но, так как если х < у, то x не может быть больше у.

Отношение f на множестве X называют антисимметричным, если  из того, что

П р и м е р 5: Пусть , . Это отношение антисимметрично.

Ясно, что всякое асимметричное отношение является и антисимметричным, но не наоборот.

Отношение на множестве X называют транзитивным, если  из того, что

П р и м е р 6: Отношения   х< у, х = у, х > у, х || у — транзитивны.

Отношение f на множестве X называют связным, если  

П р и м е р 7: Пусть X = N, . Это отношение рефлексивно, так как , антисимметрично, так как , если транзитивно, так как если , не связно, так как , например, : .

Упражнения

1. Какими свойствами обладают отношения на множестве R?

а)  ;

б) ;

в)  ;

г);

д) ;

e) ;

ж) ;

и) .

2. Привести пример антирефлексивного, антисимметричного и транзитивного отношения на множестве R .

3. Какими свойствами обладают отношения: ху, х||уна множествепрямых?

Отношения эквивалентности и порядка. Фактор-множество

Приведем таблицу классификации отношений по их свойствам:

Реф-ть	Сим-ть	Антисим-ть	Асим- ть	Транз-ть	Связ- ть	Название
+	+			+		Отношение эквивалентности
			+	+		Отношение строгого порядка
+		+		+		Отношение нестрогого порядка
			+	+	+	Отношение линейного порядка

П р и м е р ы: Отношение на множестве R ― нестрогого порядка, ― строгого порядка, х = у ― отношение эквивалентности.

Систему S непустых подмножеств заданного множества A будем называть разбиением множества А, если каждый элемент множества А принадлежит одному и только одному подмножеству из системы S. Подмножество из S называются смежными классами разбиения S.

С каждым разбиением S мы свяжем бинарное отношение φ на множестве А, полагая, по определению, тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному и тому же смежному классу множества А.

Изобразим множествоА в виде квадрата, а смежные классы ― в виде прямоугольников, на которые разбивается квадрат. Имеем, что тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному и тому же прямоугольнику. Ясно, что отношение является отношением эквивалентности. Оно называется отношением эквивалентности, отвечающим разбиению S.

Совокупность всех смежных классов множества А по отношению эквивалентности обозначается через и называется фактор-множеством от А по .

Однозначное отображение , при котором каждый элемент переходит в содержащий его смежный класс , называется каноническим отображением А на .

 Упражнения

1. Доказать, что всякое симметричное, транзитивное, всюду определенное отношение является отношением эквивалентности.

2. Построить отношение эквивалентности на множестве Z.

3. Доказать, что отношение на множестве Z есть отношение эквивалентности. Построить фактор-множество по этому отношению.

4. Найти фактор-множество , если:

а) , ;

б) «x и y имеют одинаковые остатки при делении на 7», .

5. Доказать, что любые два смежных класса из фактор-множества общих элементов не имеют.