Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение dy/dx = f(x,y) называется однородным уравнением первого порядка, если функция f(x,y) может быть представлена как функция отношения своих аргументов: f( x, y)= (y/x).

Например, уравнение dy/dx = ху/(х² – у²) однородное, так как, разделив числитель и знаменатель правой части на х² , получим

Составление и решение дифференциальных уравнений на примерах задач физико-химическиго и медико-биологического содержания.

Общие замечания. Дифференциальные уравнения занимают важное место в решении задач физико-химического, фармацевтического и медико-биологического содержания. Пользуясь ими, мы устанавливаем связь между переменными величинами, характеризующими данный процесс или явление.

Решение любой задачи с помощью математического анализа можно разбить на три этапа:

1. перевод условий задачи на язык математики;

2. решение задачи;

3. оценка результатов.

Первая часть работы обычно заключается в составлении дифференциального уравнения и является наиболее трудной, так как общих методов составления дифференциальных уравнений нет и навыки в этой области могут быть приобретены лишь в результате изучения конкретных примеров.

Закон охлаждения тела. Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурами тела и окружающей среды. Пусть тело нагрето до температуры Т_о, температуру окружающей среды будем считать постоянной и равной Т_с, Т_с < Т_о. В момент времени t температура тела равна Т. Скорость изменения температуры dT/dt пропорциональна разности Т – Т_с, то есть

dT/dt = - r(Т – Т_с).

Минус означает, что с возрастанием времени t температура Т тела уменьшается. Производная убывающей функции отрицательна, а скорость по смыслу – положительная величина. Коэффициент пропорциональности r зависит от физических свойств тела, так и от его геометрической формы.

Разделим переменные в уравнении и проинтегрируем его:

Подставив начальные условия t=0, Т=Т_о, найдем значение С и подставим в последнее уравнение:

Т₀=Т_с+Се^-r0; С=Т₀-Т_с;

Т=Т_с+(Т₀-Т_с)е^-rt.

Это закон охлаждения тела с течением времени.