Дифференциал функции.

1.

Дифференциал независимой переменной

равен ее приращению: dx=Δx

2.

Дифференциал функции y=f(x)

dy = у' Δх

Дифференциал функции y=f(x) главная часть приращения функции т.е.

dy= у' Δх ≈Δy=f(x+Δx)-f(x)±e Δx т.к.

±e Δx→0

3.

Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v

dy=du±dv

4.

Дифференциал произведения двух функций у=uv

dy = vdu+udv.

5.

Дифференциал частного двух функций

y=

Применение

дифференциала в приближенных вычислениях

1

Приращение функции через дифференциал

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f'(x) • Δx

где Δx: — приращение аргумента

2

Приближенное вычисление значения функции:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f '(x) • Δx

3

Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и отно­сительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения

4

Относительная погрешность результата измерения

Частные дифференциалы

функции двух независимых переменных

Частным дифференциалом функции

z= f(x_j у) по х называется главная часть частного приращения d_xf, пропорциональная приращению Δх независимой пере­менной.

По аналогии с дифференциалом функции одной переменной частные дифференциалы функции f(x, у) по х ; и по у будут равны:

Полный дифференциал

функции двух независимых переменных

Полный дифференциал функции двух независимых пере­менных равен сумме ее частных дифференциалов

Аналогично полный дифференциал функции многих неза­висимых переменных для функции

u=f(x, у, z, ... , t)

будет иметь вид

1

Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x).

2

Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегра­лом и обозначается символом ∫ f(x)dx.

-символ ∫ - называется интегралом;

- f(x) –называется подинтегральной функцией;

- f(x)dx - называется подинтегральным выражением и равно дифференциалу первообразной.

3

Свойства неопределенного интеграла

1. ∫f(x)dx=F(x)+C

2. ∫[f(x)+φ(x)]dx=∫ f(x)dx+∫φ(x)dx

3. ∫ d(F(x))=F(x)+C

4. (∫f(x)dx)=f(x)

5. ∫f(x)dx= ∫f(t)dt

6. d∫f(x)dx=f(x)dx

7. ∫af(x)dx=a∫f(x)dx

4

Основные интегралы

Интеграл

(n≠-1)

5

Интеграл

6

Интеграл

7

Интеграл

∫e^xdx =e^x+C

8

Интеграл

∫sin x dx =-cos x +C

9

Интеграл

∫cos xdx =sin x +C

10

Интеграл

11

Интеграл

12

Интеграл

∫dx =х+С

13

Интеграл

14

Интеграл

15

Интеграл

16

Интеграл

17

Интеграл

∫tgxdx =Lncosx+C

18

Интеграл

∫ctgxdx =- Lnsinx+C

19

Интегрирование по частям

∫ udv = uv—∫ vdu.

20

Найти у = ∫ Ln хdх. Полагаем и=Lпх,

dv = dx, тогда , v = x

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

у = ∫ Lnxdx = x Lnх-∫ dх = xLn-x+C

21

Интегрирование методом замены переменных

Найти у= ∫x (1+ 2x²)dx

Заменим l+2x²=z, подставим замену в интеграл, тогда

сократим подобные члены получим

Возвращаясь к прежней переменной х, окончательно имеем