Определенный интеграл

1	Интегральная сумма ∑f(ki)Δxi ( от i=1 до n ) где ki произвольная точка соответствующего отрезка
2	Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b]
3	Формула Ньютона — Лейбница ,где F(a) и F(b) первообразная функции f(x)при замене х на а и b , т е F′(x)=f(x)
4	свойства определенного интеграла
5
6
7	Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,
8	Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f1(x) и у = f2(x) [ f'2(x)≥f1(x)] и двумя прямыми х=а и х=b,

Общие понятия и определения.

Понятие о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения используются при изучении явлений и процессов в физике, химии, биологии, медицине, фармации, астрофизике, кибернетике, социологии и других областях знаний. Сформулировав задачу на языке дифференциальных уравнений, специалист любой отрасли знаний получает в руки готовый аппарат для численного решения задачи, изучения качественных особенностей этого решения. Многие вопросы естествознания и техники сводятся к нахождению неизвестной функции у = f(x), если известно уравнение, содержащее х, у и производные разных порядков функции f(x): f(x), f(x), …, f⁽ⁿ⁾(x) или дифференциалы функции df, d²f, …, dⁿf. Такие уравнения называются дифференциальными.

Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению: установить закон изменения скорости  свободно падающего тела массой т без учета силы сопротивления воздуха.

Согласно второму закону Ньютона,

где mg – сила тяжести.

Полученное уравнение является дифференциальным, так как в него входит производная d/dt искомой функции .

Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию  = f(t) , которая тождественно удовлетворяет этому уравнению. Легко проверить, что уравнению удовлетворяет функция вида  = gt + C, где С – любое число. Указав начальные условия, можно найти одну функцию, удовлетворяющую уравнению. Так, если при t = 0  = ₀, то получим функцию  = ₀ + gt.

Существует много задач из различных областей знаний, решение которых сводится к составлению и решению дифференциальных уравнений.

Основные определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дифференциальным называют уравнение, связывающее аргумент х, искомую функцию у = f(x), ее производные f(x), f(x), …, f^(п)(x) или дифференциалы df, d²f, …, d^пf.

Дифференциальное уравнение в общем виде можно записать так:

F(x, f(x), f(x), f(x), …, f^(п)(x)) = 0

или

F(x, y, y, y, …, y⁽ⁿ⁾) = 0.

Если искомая функция y = f(x) есть функция одного аргумента, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным.

Если функция u = f(x, y, z, …, t) зависит от двух и большего числа аргументов, то уравнение будет содержать частные производные и т.д. Такое уравнение носит названиедифференциального уравнения в частных производных. Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной или дифференциала, входящих в уравнение.

Например, у = 2ху² + 5 – уравнение первого порядка, а у + у =0 – второго.

Общим решением дифференциального уравнения порядка r называется функция y = f(x,C₁, C₂, …, C_r) от х с произвольными постоянными C₁, C₂, …, C_r,обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, записанное в неявном виде Ф(x, у,C₁, …, C_r) = 0, называется общим интегралом.

Так, решением дифференциального уравнения у + у =0 является функция

у = С₁ sin x + C₂ cos x, где C₁ и C₂ – произвольные постоянные. При подстановке функции у = С₁ sin x + C₂ cos x в уравнение у + у =0 оно превращается в тождество. Действительно,

у_х = C₁ cos x – С₂ sin x; у_хх = - С₁ sin x - C₂ cos x;

- С₁ sin x - C₂ cos x + С₁ sin x + C₂ cos x =0.

При любом наборе конкретных постоянных получаются частные решения. На практике частное решение получают из общего не прямым заданием значений произвольных постоянных, а с учетом тех условий, которым должно удовлетворять искомое частное решение. Задание таких условий называется заданием начальных условий и записывается кратко так:

f(x₀) = y₀; f(x₀) = y₀;…; f^(r-1)(x₀) = y₀^(r-1).

Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.

Уравнение вида f₁(x)₁(y)dx + f₂(x)₂(y)dy =0

называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на ₁(y) f₂(x):

при условии, что ₁(y) f₂(x)  0. После сокращения получаем

(1)

Интегрируя равенство (1), получаем

(2)

где С – произвольная постоянная.

Выражение (2) является общим решением уравнения (1).

Пример. Найти общее и частное решения уравнения dy/dx = - y/x при x = 1, y = 2.

Решение. В уравнении dy/dx = - y/x путем умножения обеих частей на dx разделим (отделим) дифференциалы: dy = -( y/x)dx. Разделив обе части последнего уравнения на у, получим уравнение с разделенными переменными: dy/у = -dx/x. Проинтегрируем его: откуда

Потенцируя последнее равенство, получаем - общее решение уравнения. Из условия, что при х = 1 у = 2, найдем значение С: 2 = С/1, откуда С = 2. Частное решение будет иметь вид у = 2/х.