Предел
Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е>0 найдется такое число δ>0, что
|y — A|<е, при | х —a|<δ
lim y= А при | х —a|→0
Основные теоремы о пределах Предел постоянной величины
limА=А.
Предел суммы (разности) конечного числа функций
lim [f(x)+φ(x)+ψ(x)]= lim f(x)+ lim φ(x)+ lim ψ(x) при x→а
Предел произведений конечного числа функций
lim [f(x) •φ(x) •ψ(x)]= lim f(x) • lim φ(x) • lim ψ(x) при x→а
Предел частного двух функций:
lim [f(x) /φ(x)]= lim f(x) / lim φ(x) при lim φ(x)≠0
Замечательные пределы:
lim(sin x/x)=1при x→0 , lim(1+1/x)x=2,71828…(число е ) при x→∞
Производная. Применение производных для исследования функций
Производной функции f(x) называется предел отношения прира-щения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке х при стремлении Δх к нулю:
ý=lim Δy / lim Δx при lim Δx →0
Производные некоторых функций :
постоянной величины |
у=С: |
ý= 0; |
степенной функции |
у = хμ: |
ý=μxμ-1 |
показательной функции в частности, если |
у = аx: у = ех то |
ý=axlna; ý= еx; |
логарифмической функции натурального логарифма |
y=logax у = lпх |
ý=( logae)/x=1/(x lna) ý=1/x |
тригонометрические функции: |
y=sinx y=cos x y = tgx. y = ctgx. |
y'=cosx; ý =— sin x; ý =1/cos2x ý =-1/sin2x
|
обратных тригонометрические функции: |
y=arcsinx y=arccosx y=arctgx y=arcctgx |
ý =1/(1-x2)1/2 ý =-1/(1-x2)1/2 ý =1/(1+x2) ý =-1/(1+x2) |
Производная суммы (разности) функций |
y = w±u:
|
y' = u'±v' |
Производная произведения двух функций |
y=uv |
y' = u'v + v'u. |
Производная частного двух функций |
y=u/v:
|
y' =( u'v- v'u)/ v2
|
Производная сложной функции |
y = f1(u), если y = f2(x), |
у'x = у'ии'x |
Условие возрастания функции y = f(x) на отрезке [а, b]
f'(x)>0
Условие убывания функции y=f(x) на отрезке [а, b]
f'(x)<0
Условие максимума функции y=f(x) при x= а
f'(a)=0 и f'' (a)<0
Если при х=а производные f'(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходимо исследовать f'(x) в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х) при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f'(x) меняет знак с «+» на «-», в случае минимума — с « - » на «+» Если f'(x) не меняет знака при переходе через точку х = а, то в этой точке у функции экстремума нет
Дифференциал функции. Применение
дифференциала в приближенных вычислениях
Дифференциал независимой переменной равен ее приращению:
Dx=Δx
Дифференциал функции y=f(x)
dy = у' Δх.
Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v
dy=du±dv.
Дифференциал произведения двух функций у=uv
dy = vdu-\-udv.
Дифференциал частного двух функций y=u/v
dy=(vdu-udv)/v2
Приращение функции
Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f'(x) • Δx
где Δx: — приращение аргумента.
Приближенное вычисление значения функции:
f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x) • Δx
Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и относительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения
du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…
Относительная погрешность результата измерения
du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u
Неопределенный интеграл
Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x). Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ f(x)dx. Основные интегралы
∫xμdx=xμ+1/ (μ+1) +C (μ≠-1)
∫dx/x=ln|x|+C
∫axdx=ax/lna +C
∫exdx=ex+C
∫sin x dx=-cos x +C
∫cos xdx=sin x +C
∫dx/cos2x=tgx+C
∫dx/sin2x=-ctgx+C
Интегрирование по частям
∫ udv = uv—∫ vdu.
Пример
Найти у = ∫ In хdх.
Полагаем и=lпх, dv = dx, тогда dи =dx/x, v = x
Используя формулу интегрирования по частям, получаем
у = ∫ In xdx = x In х-∫ dх = xlnx-x+C
Пример
Найти у= ∫ (1++ 2x2)dx
Заменим l+2x=z, dx = dz/2 Тогда
y=0,5∫z2dz
Таким образом, интеграл сведен к табличному виду Воспользовавшись формулой, найдем
0,5∫z2dz=z3/6+C
Возвращаясь к прежней переменной х, окончательно имеем
Y=(1+2x)3/6+C