Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Predel.docx
Скачиваний:
8
Добавлен:
13.02.2016
Размер:
80.59 Кб
Скачать

Предел

Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е>0 найдется такое число δ>0, что

|y — A|<е, при | х —a|<δ

lim y= А при | х —a|→0

Основные теоремы о пределах Предел постоянной величины

limА=А.

Предел суммы (разности) конечного числа функций

lim [f(x)+φ(x)+ψ(x)]= lim f(x)+ lim φ(x)+ lim ψ(x) при x→а

Предел произведений конечного числа функций

lim [f(x)φ(x)ψ(x)]= lim f(x) lim φ(x) lim ψ(x) при x→а

Предел частного двух функций:

lim [f(x) /φ(x)]= lim f(x) / lim φ(x) при lim φ(x)≠0

Замечательные пределы:

lim(sin x/x)=1при x→0 , lim(1+1/x)x=2,71828…(число е ) при x→∞

Производная. Применение производных для исследования функций

Производной функции f(x) называется предел отношения прира-щения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке х при стремлении Δх к нулю:

ý=lim Δy / lim Δx при lim Δx →0

Производные некоторых функций :

постоянной величины

у=С:

ý= 0;

степенной функции

у = хμ:

ý=μxμ-1

показательной функции

в частности, если

у = аx:

у = ех то

ý=axlna;

ý= еx;

логарифмической функции натурального логарифма

y=logax

у = lпх

ý=( logae)/x=1/(x lna)

ý=1/x

тригонометрические функции:

y=sinx

y=cos x

y = tgx.

y = ctgx.

y'=cosx;

ý =— sin x;

ý =1/cos2x

ý =-1/sin2x

обратных тригонометрические функции:

y=arcsinx

y=arccosx

y=arctgx

y=arcctgx

ý =1/(1-x2)1/2

ý =-1/(1-x2)1/2

ý =1/(1+x2)

ý =-1/(1+x2)

Производная суммы (разности) функций

y = w±u:

y' = u'±v'

Производная произведения двух функций

y=uv

y' = u'v + v'u.

Производная частного двух функций

y=u/v:

y' =( u'v- v'u)/ v2

Производная сложной функции

y = f1(u), если y = f2(x),

у'x = у'ии'x

Условие возрастания функции y = f(x) на отрезке [а, b]

f'(x)>0

Условие убывания функции y=f(x) на отрезке [а, b]

f'(x)<0

Условие максимума функции y=f(x) при x= а

f'(a)=0 и f'' (a)<0

Если при х=а производные f'(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходи­мо исследовать f'(x) в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х) при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f'(x) меняет знак с «+» на «-», в случае минимума — с « - » на «+» Если f'(x) не меняет знака при переходе через точку х = а, то в этой точке у функ­ции экстремума нет

Дифференциал функции. Применение

дифференциала в приближенных вычислениях

Дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

Dx=Δx

Дифференциал функции y=f(x)

dy = у' Δх.

Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v

dy=du±dv.

Дифференциал произведения двух функций у=uv

dy = vdu-\-udv.

Дифференциал частного двух функций y=u/v

dy=(vdu-udv)/v2

Приращение функции

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f'(x) • Δx

где Δx: — приращение аргумента.

Приближенное вычисление значения функции:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x) • Δx

Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и отно­сительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Относительная погрешность результата измерения

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

Неопределенный интеграл

Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x). Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегра­лом и обозначается символом ∫ f(x)dx. Основные интегралы

∫xμdx=xμ+1/ (μ+1) +C (μ≠-1)

∫dx/x=ln|x|+C

∫axdx=ax/lna +C

∫exdx=ex+C

∫sin x dx=-cos x +C

∫cos xdx=sin x +C

∫dx/cos2x=tgx+C

∫dx/sin2x=-ctgx+C

Интегрирование по частям

∫ udv = uv—∫ vdu.

Пример

Найти у = In хdх.

Полагаем и=lпх, dv = dx, тогда dи =dx/x, v = x

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

у = ∫ In xdx = x In х-∫ dх = xlnx-x+C

Пример

Найти у= ∫ (1++ 2x2)dx

Заменим l+2x=z, dx = dz/2 Тогда

y=0,5∫z2dz

Таким образом, интеграл сведен к табличному виду Воспользовавшись формулой, найдем

0,5∫z2dz=z3/6+C

Возвращаясь к прежней переменной х, окончательно имеем

Y=(1+2x)3/6+C

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]