Задание для студентов по лабораторной работе №1

«Определить соответствие вариационного распределения измеренной величины нормальному закону распределения»

Цель работы:Используя методы математической статистики, определить закон распределения случайных измеренных величин, заменив безинтервальнный ряд измеренных величин на вариационный ряд. Определить соответствие вариационного распределения измеренной величины нормальному закону распределения.

Вопросы теории ( исходный уровень)

1. Распределение дискретных и непрерывных случайных величин и их характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

2. Нормальный закон распределения.

3. Генеральная совокупность и выборка.

4. Гистограмма.

5. Оценка параметров нормального распределения по опытным данным.

6. Доверительные интервалы для средних.

7. Оценка истинного значения измеряемой величины.

8. Применение распределения Стьюдента для определения доверительных интервалов. 9. 9. Обработка результатов непосредственных и косвенных измерений.

Содержание занятия:

1.Выполнить работу по указаниям в руководстве к данной работе.

2.Оформить отчет.

3.Защитить работу с оценкой.

4.решить задачи

Задачи

1.График функции распределения вероятностей изображен на рисунке. Найдите связь между а и Ь. 2.Плотность вероятности задана законом

Найдите а. \

3.Найдите математическое ожидание и дисперсию случае ной величины, представленной графиком на рисунке.

4.Нормальный закон распределения задан в форме уравнения

, причем математическое ожидание равно нулю (а = 0). Какова вероятность того, что случайная величин на имеет значения х< а? х>а?

5.В нормальном законе распределения а = 2; а = 4. Чему равно х, если вероятность того, что случайная величина принимает значения меньше х, равна ¾.

Лабораторная работа №1

Определить соответствие вариационного распределения измеренной величины нормальному закону распределения

Цель работы: Используя методы математической статистики, определить закон распределения случайных измеренных величин, заменив безинтервальнный ряд измеренных величин на вариационный ряд. Определить соответствие вариационного распределения измеренной величины нормальному закону распределения

Практическая часть

Оборудование:1. цифровой вольтметр В7-40/5, 2. набор сопротивлений одного номинала, 3. соединительные провода, 4. таблица значений функции .

Для проведения измерений подключить к цифровому вольтметр В7-40/5 к гнездам U;R (красное), 0 (черное) провода через штекера. Провод идущий от черного гнезда (0), подключить к общей шине панели куда припаены по одному концу N сопротивлений. Второй конец провода, идущего от красного гнезда, можно приводить в соприкосновение со свободными концами N сопротивлений и по вольтметру измерять их величины.

Для измерения:

1. включить вольтметр в сеть, 2. перевести включатель в положение сеть ВКЛ, 3. на панели

пределы нажмите кнопкуи автоматического выбора пределов АВП

4. на панели род работ нажмите кнопку R, 5. привести в соприкосновение провода с измеряемыми сопротивлениями. 6. на цифровом табло произвести отсчет измеряемой величины, а справа от табло определить по горящему светодиоду размерность величины

Ход работы

1. Произвести измерения N сопротивлений и записать результаты измерений в протокол лабораторной работы.

2. По результатам измерений построить вариационный ряд.

2.1.- в измеренных величинах найти величину ( х_min) с наименьшим значением и величину (х_max) с наибольшим значением.

2.2.-определить размах вариации R , представляющий собой разность между максимальной и минимальной вариантами совокупности ( R = x_max- x_min).

2.3.-по числу элементов совокупности N определим число классов К на которые следует разбить совокупность измеренных величин. При N≤100 К определим по формуле

K= 1+3,32 lg N, при N›100 К определим по формуле K= 5 lg N .

2.4.-определить величину классового интервала λ , как частное от деления размаха вариации R на число классов К , λ =R/К = (x_max- x_min)/ К.

Если окажется , что λ=1, собранный материал распределяется в безынтервальный вариационный ряд; если λ≠1, исходные данные необходимо распределить в интервальный ряд. При этом точность величины классового интервала должна соответствовать точности принятой при измерении величин.

2.5.- определить ширину классов входящих в интервальный вариационный ряд в которых расположатся все измеренные величины от x_max до x_min.

Ширина первого класса имеет протяженность от x_min до x_min+λ, т.е.[ x_min ÷ x_min+λ].

Ширина второго класса имеет протяженность от x_min+ λ +10^-5λ до x_min+2λ , т.е.

[ x_min+ λ +10^-5λ ÷ x_min+2λ] , где 10^-5λ незначащее число и применяется для того, чтобы разграничить числа находящиеся на границе классовых интервалов и используется во всех классах для различия начала нового класса от конца предыдущего класса.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - -

Ширина К-того класса имеет протяженность от x_min+(К-1) (λ +10^-5λ ) до x_max, т.е.

[x_min+(К-1) (λ +10^-5λ ) ÷ x_max], где x_max= x_min +К λ.

2.6.- найти среднее значение каждого класса х_m . Среднее значение каждого класса равно полусумме значений начала и конца класса без незначащего числа 10^-5λ, т.е.

х_m=( x_min+(I-1) λ +x_min+Iλ)/2, где I принимает значения от 1 до К (I =1;2;…К).

2.7.- определить количество элементов n из измеренных N величин входящих в каждый класс, т.е. получить n₁, n₂,… n_К

2.8. – определить относительную частоту р_i попадания количества элементов n_i из измеренных N величин в каждый класс, т.е. р_i= n_i/ N. Найти р₁, р₂,… р_К.

3. На основании пункта 2 заполнить таблицу:

N=
xmax= xmin= R = xmax- xmin=
K= 1+3,32 lg N=
λ =R/К = (xmax- xmin)/ К=
Классные интервалы	1	2	…	К
Границы клас-сных интервалов	[ xmin ÷ xmin+λ]	[ xmin+ λ +10-5λ ÷ xmin+2λ]	…	[xmin+(К-1) (λ +10-5λ ) ÷ xmax]
Среднее значе-ние классного интервала хm	xmin+λ/2	xmin+3λ/2	…	xmin+(К+1)λ/2
Количество ве-личин входящих в класс ni	n1	n2	…	nК
Частота попа-дания величин в класс рi= ni/ N	р1= n1/ N	р2= n2/ N	…	рК= nК/ N
(хm)I*pi	(xmin+λ/2)р1	(xmin+3λ/2)р2	…	(xmin+(К+1)λ/2)рК

4. По полученным данным построить графики вариационных рядов.

4.1. - полигон частот; по оси абсцисс откладывают среднее значение классов, по оси ординат частоту попадания величин в класс. Высота перпендикуляров, восставляемых на ось абсцисс, соответствует частоте классов. Соединяя вершины перпендикуляров прямыми линиями, получают геометрическую фигуру в виде многоугольника называемую полигоном распределения частот. Линия соединяющая вершины перпендикуляров, называют вариационной кривой или кривой распределения частот вариационного ряда.

4.2. – гистограмма; по оси абсцисс откладывают границы классовых интервалов , по оси ординат – частоты интервалов. В результате получается совокупность прямоугольников . т.е. гистограмма распределения.

4.3. – кумулята; по оси абсцисс откладывают среднее значение классов, по оси ординат – накопление частоты интервалов ( накопление частот находят последовательным суммированием или кумуляцией частот в направлении от первого класса до конца вариационного ряда , т.е. например в третьем классе накопленная частота будет соответствовать сумме частот трех классов) с последующим соединением точек прямыми линиями, получается график называемый кумулятой. Имеет вид S-образной кривой.

4.4. – огива; по оси абсцисс откладывают частоты , а по оси ординат значение классов с последующим соединением геометрических точек прямыми линиями, полученный график называют огивой.

При построении вариационной кривой масштабы на осях прямоугольных координат следует выбирать с таким расчетом, чтобы основание кривой было в 1,5 –2,0 больше ее высоты.

5. Определить основные характеристики варьирующих величин .

5.1. – средняя арифметическая ; найти произведение среднего значения каждого класса (х_evi) _i на относительную частоту р_i попадания количества элементов n_i из измеренных N величин в каждый класс, т.е. р_i*(х_m)_i. Найти р_1*(х_m) ₁, р_2*(х_m)₂,... р_К*(х_m)_К. и по формуле определить среднее арифметическое

5.2. – дисперсия s_x² или σ²;

5.2.1. - найти отклонение среднего значение каждого класса х_m от среднего арифметического ,т.е.(х_m)_I-,

5.2.2. – возвести в квадрат отклонение среднего значение каждого класса х_m от среднего арифметического ,т.е.[(х_m)_i-]²,

5.2.3. – умножить квадрат отклонений среднего значение каждого класса х_m от среднего арифметического на относительную частоту попадания в класс р_i, т.е.

[ (х_m)_i-]²*р_i и по формуле определить дисперсию;

5.2.4.Установлено, что рассчитываемая по формуле дисперсия оказывается смещенной по отношению к своему генеральному параметру на величину , равную N/(N-1). Эта величина называется поправкой Бесселя. Разность (N-1)=k называют числом степеней свободы под которыми понимают число свободно варьирующих величин в составе численно ограниченной совокупности.

Несмещенная дисперсия и среднеквадратичное отклонение определяются;

5.2.4.1. – умножить квадрат отклонений среднего значение каждого класса х_evi от среднего арифметического наколичество элементов n из измеренных N величин входящих в каждый класс, т.е. найти [ (х_m)_i-]²*n_i и по формуле определить несмещенную дисперсию,

5.2.4.2. – среднее квадратическое отклонение s_x есть показатель, представляющий корень квадратный из дисперсии,

6.На основании пункта 5 заполнить таблицу:

	1	2	…	К
(хm)I-,	(хm)1-,	(хm)2-,	…	(хm)К-,
[ (хm)i-]2,	[ (хm)1-]2	[ (хm)2-]2	…	.[ (хm)К-]2
умножить ква[ (хm)i-]2*рi	[ (хm)1-]2*р1	[ (хm)2-]2*р2	…	[ (хm)К-]2*рК
определить дисперсию
[ (хm)i-]2*ni	[ (хm)1-]2*n1	[ (хm) 2-]2*n2		[ (хm)К-]2*nК
определить несмещенную дисперсию,
Определить среднее квадратическое отклонение sx

7. Определить соответствие вариационного распределения нормальному закону;

7.1. – найти нормированное отклонение t . Отклонение той или иной варианты от средней арифметической, отнесенное к величине среднего квадратического отклонения , называют нормированным отклонением и находят по формуле,

7.1. – Для соответствующих классов найдем функцию нормированного отклонения f(t) по таблице или по формуле,

7.2. – найдем выравнивающие частоты вариационного ряда f^I (t). Для того чтобы ордината выражала не вероятность, а абсолютные значения случайной величины, т.е. выравнивающие частоты вариант эмпирического распределения нужно f^I (t) найти по формуле,

8. На основании пункта 7 заполним таблицу:

	1	2	…	К
нормированное отклонение t			…
нормированного отклонения f(t)			…
выравнивающие частоты вариационного ряда fI (t)			…

9. На графике полигона частот построить точки соответствующие выравнивающей частоте вариационного ряда, вычисленная по нормальному закону.

10. Записать значение исследуемой величины с границами доверительного интервала.

Оформить отчет.

Таблица : Значения функции