Знакопеременные ряды

Знакопеременными называются ряды, члены которых могут иметь любые знаки, например, .

В частности, если положительные и отрицательные члены ряда следуют друг за другом поочередно, то такой знакопеременный ряд называется знакочередующимся.

Знакочередующие ряды

Знакочередующий ряд, члены которого являются положительными, можно представить в виде

,

где

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов применяют признак Лейбница.

Признак Лейбница.Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т. е. если выполняются следующие два условия:

1) и 2).

Достаточно важный класс сходящихся рядов образуют так называемые абсолютно сходящиеся ряды. При этом членами таких рядов могут быть любые действительные числа.

Определение 9.5.Рядназывается абсолютно сходящимся, если сходится.

Теорема 9.4.Если рядсходится, то и рядтоже сходится.

Данная теорема утверждает, что если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.

Необходимо отметить, что:

1) для знакопостоянных рядов понятие сходимости и абсолютной сходимости совпадают;

2) ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

Рассмотрим признаки Даламбера и Коши для произвольных знакопеременных рядов.

Признак Даламбера.Если существует, то прирядабсолютно сходится, приряд будет расходящимся, припризнак не решает вопроса о сходимости ряда.

Задача 9.7.Исследовать сходимость ряда

Здесь за каждыми двумя положительными членами ряда следует два отрицательных. Для исследования сходимости такого ряда воспользуемся признаком Даламбера.

.

Исходный ряд сходится по признаку Даламбера.

Задача 9.8.Исследовать ряд на абсолютную сходимость

Здесь. Для такого ряда выполняются следующие условия:

а)

б) . Следовательно, исходный ряд сходится в соответствии с признаком Лейбница.

Исследуем заданный ряд на абсолютную сходимость. Для этого составим ряд из абсолютных величин:

Такой ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, которая всегда сходится. Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно.

Задача 9.9. Исследовать сходимость ряда

Здесь , следовательно ряд расходящийся, так как не выполняется необходимое условие сходимости.

Тема 9.2. Функциональные ряды

Пусть задана следующая последовательность функций , т. е.

которая определена на некотором множестве. Если члены такой последовательности соединить знаком плюс, то получают выражение

(9.4)

или . Такие выражения называют функциональными рядами, а функцияназывается общим членом ряда.

Частными суммами ряда называются функции вида

Функциональный ряд называется сходящимся приили в точке (), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм:

Другими словами, можно отметить, что функциональный ряд сходится при, если сходится числовой ряд.

Предел последовательности , обозначим его через, называется суммой рядав точке.

Определение 9.6.Совокупность всех значений, для которых сходится ряд, называется областью сходимости этого ряда.

Пусть на отрезке тогдана рассматриваемом отрезке. В этом случае отмечают, что функцияразлагается в ряд на отрезке.

Как было показано, сходимость функционального ряда на отрезке означает, что для любого значенияотрезкасоответствующий числовой ряд сходится. В этой связи для исследования на сходимость функциональных рядов можно использовать признаки сходимости числовых рядов.

Задача 9.10.Найти область сходимости ряда

Компактно этот ряд можно представить следующим образом

.

Этот ряд сходится для всех . Действительно, для каждогосумма ряда равна(сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии). Таким образом, в интервалеисходный ряд определяет функцию