Введение в математический анализ
41-50. Построить
график функции
путем преобразования графиков основных
элементарных функций.
|
41. |
|
46. |
|
|
42. |
|
47. |
|
|
43. |
|
48. |
|
|
44. |
|
49. |
|
|
45. |
|
50. |
|
51-60. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя)
51. а)
;б)
;
в)
;
г)
д)
52. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
53. а)
;
б)
;
в)
г)
;
д)
.
54.
а)
;
б)
в)
;
г)
;
д)
.
55.
а)
;
б)
;
в)
г)
;
д)
.
56.
а)
;
б)
;
в)
;г)
;д)
.
57.
а)
;
б)
;
в)
г)
;
д)
.
58.
а)
б)
в)
;
г)
;
д)
.
59.а)
;
б)
;
в)
г)
д)
.
60.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
Дифференцирование функций одной независимой переменной
61-70. Найти производные данных функций
61. а)
в)
б)
г)
62. а)
в)
б)
в)
63.а)
в)
б)
г)
64. а)
в)
б)
г)
65. а)
в)
б)
г)
66. а)
в)
б)
г)
67. а)
в)
б)
г)
68. а)
в)
б)
г)
69. а)
в)
б)
г)
70. а)
в)
б)
г)
Исследование функций с помощью производных
71-80. Найти наибольшее
и наименьшее значение функции на отрезке
71.
76.
72.
77.
73.
78.
74.
79.
75.
80
81. Решеткой 240 м нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки.
82. Из квадратного листа картона со стороной 36 см вырезаются по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезанного квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?
83. Число 64 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
84. Число 20 разложить на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.
85. Найти стороны
прямоугольника наибольшего периметра,
вписанного в полуокружность радиуса
.
86. Найти стороны
прямоугольника наибольшей площади,
вписанного в эллипс
87. Показать, что из всех треугольников данного периметра 2р, которые можно построить на одном и том же основании, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.
88. Цилиндрическая
консервная банка должна иметь данный
объем
.
Каковы должны быть размеры банки, чтобы
на ее изготовление пошло наименьшее
количество жести?
89. Два источника света расположены в 30 м друг от друга. На прямой, соединяющей их, найти наименее освещенную точку, если силы источников относятся как 27:8 (известно, что освещенность данной точки обратно пропорциональна квадрату ее расстояния от источника света).
90. Определить, каковы должны быть размеры открытого резервуара заданной емкости 256 м2чтобы на обшивку его стен и дна пошло наименьшее количество материала, если резервуар должен иметь форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном.
91-100. Исследовать
методами дифференциального исчисления
функцию
и построить ее график.
91. а)
б)
92. а)
;
б)
93. а)
;
б)
94. а)
б)
95. а)
б)
96. а)
б)
.
97. а)
б)
.
98. а)
б)
.
99. а)
б)
100. а)
б)
Функции многих независимых переменных
101-110. Найти область
определения функции
.
Построить такую область.
101.
106.
102
107
103
108
104
109
105
110
111-120. Найти частные
производные
и
функции
.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118
119.
120.
121-130. Даны функция
,
точка
и вектор
.
Найти: а)
в точке А; б) производную в точке
по направлению вектора
.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131-140. Найти экстремум функции
131.
136.
132.
137.
133.
138.
134.
139.
135.
140.
141-150. Найти неопределенные интегралы.
141. а)
б)
в)
г)
142. а)
б)
в)
г)
143. а)
б)
в)
г)
144. а)
б)
в)
г)
145. а)
б)
в)
г)
146. а)
б)
в)
г)
147. а)
б)
в)
г)
148. а)
б)
в)
г)
149. а)
б)
в)
г)
150. а)
б)
в)
г)
151-160. Вычислить определенные интегралы.
151. а)
б)
152. а)
б)
153. а)
б)
154. а)
б)
155. а)
б)
156. а)
б)
157. а)
б)
158. а)
б)
159. а)
б)
160. а)
б)
.
161. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной параболой
и прямой
.
162. Вычислить объем
тела, образованного вращением вокруг
оси ординат фигуры, ограниченной
параболами
и
.
163. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной линиями
,
и прямой
.
164 .Вычислить объем
тела, образованного вращением вокруг
оси ординат фигуры, ограниченной линиями
и осью абсцисс.
165. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной параболой
и прямой
.
166.Вычислить объем
тела, образованного вращением вокруг
оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями
и
.
167. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной параболой
и прямой
.
168.Вычислить объем
тела, образованного вращением вокруг
оси ординат фигуры, ограниченной
параболами
и
.
169. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной параболой
и осью абсцисс.
170.Вычислить объем
тела, образованного вращением вокруг
оси абсцисс фигуры, ограниченной
гиперболой
,
прямыми
и осью абсцисс.
171-180.
171. а)
б)
172. а)
б)
173. а)
б)
174. а)
б)
175. а)
б)
176. а)
б)
177. а)
б)
178. а)
б)
179. а)
б)
180. а)
б)