Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Фізика, частина 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

2.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Фізичні основи механіки

Z	K	Z	K		A
Z	K				A
			r
		r0		r
		r0	O	u
O			O		X
O
Y	Y		X
Y	Y

Рис. 51

Знайдемо зв’язок між координатами довільної точки A в обох системах. З рис. 51

видно, що


r r r0			r ut ,
або в проекціях на осі координат:
x x uxt ,	y y u yt ,			z z uzt .
Ці рівняння – перетворення координат Галілея.

У випадку, коли система K рухається зі швидкістю u					вздовж додатного напрямку осі
OX системи K, перетворення Галілея мають вигляд
x x ut ,		y y ,		z z .

У класичній механіці передбачається, що хід часу не залежить від відносного руху систем відліку: t t .

Записані вище співвідношення мають місце лише в класичній механіці u c .

Отримаємо правило додавання швидкостей в класичній механіці:

= u .

Прискорення в системі відліку K

d u

, що діє на частинку в

Сила F , що діє на частинку в системі K, збігається з силою F

. Це пов’язано з тим, що сила залежить від відстані між даною частинкою і

системі K : F

частинками, які діють на неї або їх відносними швидкостями руху, а вони в ньютонівській механіці вважаються однаковими у всіх інерціальних системах. Маса також однакова у всіх системах.

Отже, рівняння динаміки не змінюються при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої, тобто є інваріантними відносно перетворення координат. Це і є механічний

принцип

відносності.

Галілей зазначив,

що

K Z

ніякими

механічними дослідами, які проведені в даній

інерціальній

системі

відліку,

не

можна

встановити,

чи

знаходиться вона в

X X

стані спокою,

чи рухається

рівномірно

u A

прямолінійно.

Рис. 52

Фізичні основи механіки

§24. Постулати спеціальної теорії відносності. Перетворення Лоренца

Спеціальна теорія відносності є сучасною фізичною теорією простору і часу.

Спеціальну теорію відносності називають релятивістською теорією, а явища, що описуються цією теорією, - релятивістськими ефектами, які проявляються при швидкостях руху тіл,

близьких за величиною до швидкості світла у вакуумі c. Релятивістською механікою називається механіка рухів з релятивістськими швидкостями, яка ґрунтується на спеціальній теорії відносності.

Воснові спеціальної теорії відносності лежать два постулати Ейнштейна.

I. Принцип відносності: ніякі досліди (механічні, електричні, оптичні), які проведені всередині даної інерціальної системи відліку, не дають можливості виявити, чи знаходиться ця система в стані спокою чи рухається рівномірно і прямолінійно: всі закони природи інваріантні відносно переходу від однієї інерціальної системи відліку до іншої.

II. Принцип інваріантності швидкості світла: швидкість світла у вакуумі не залежить від швидкості руху джерела світла або спостерігача і однакова у всіх інерціальних системах відліку.

Розглянемо дві інерціальні системи відліку: K і K , яка рухається відносно K вздовж осі

	t t 0 , коли початки O і O
OX з швидкістю u (рис. 52). Нехай в початковий момент часу

збігаються, випромінюється світловий імпульс. Швидкість світла в обох системах одна і та сама і дорівнює c. Тому, якщо за час t в системі K сигнал дійде до деякої точки A, пройшовши відстань

x c t ,

то в системі K координата світлового імпульсу в момент досягнення точки А x ct . x x c t t .

Оскільки x x , тому що система K переміщається відносно до системи K, то t t . В

результаті відлік часу має відносний характер.

Ейнштейн показав, що в теорії відносності перехід від однієї інерціальної системи

відліку до іншої описується перетвореннями Лоренца:

u x

u t

z z , t

y y ,

;

1 2

u x

x u t

y y ,

z z , t

;

1 2

uc .

Перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея, якщо u c .

КОРДИШ ЛЕОН ЙОСИПОВИЧ

(1878-1932)

Опублікував в 1910 р. свою першу роботу по теорії відносності, в якій розглядаються перетворення Лоренца і дається елементарний вивід формул Ейнштейна.

Фізичні основи механіки

БІЛАНЮК ОЛЕКСА

(нар. 1926 р.)

Обґрунтував у 1962 р., гіпотезу про те, що існування швидших від світла об’єктів - тахіонів - не суперечить теорії відносності.

Світ тахіонів відділений від світу „звичайних” частинок недоступним для них бар’єром - швидкістю світла у вакуумі. Тахіони не можуть рухатися зі швидкістю меншою від світлової, або тотожною їй.

§25. Поняття одночасності. Відносність довжин і проміжків часу

Нехай в системі K в точках з координатами x1				і x2 в моменти часу t1 і t2 відбуваються
							вздовж осі OX, цим подіям
дві події. В системі K , яка рухається відносно K з швидкістю u							вздовж осі OX, цим подіям
						(рис. 52). Якщо події в системі K
відповідають координати x1 і	x2 в моменти часу			t1	і t2	(рис. 52). Якщо події в системі K
відбуваються в одній точці x1	x2 і є одночасними				t1	t2 ,	то згідно з перетвореннями
Лоренца
	x	x	і t t ,
	1	2	1	2

тобто ці події є одночасними і такими, що просторово збігаються для довільної інерціальної системи відліку.

Якщо події в системі K просторово розділені x1 x2 , але одночасні t1 t2 , то в системі K

x	x1 u t			, x	x	2 u t	,
	x1 u t

1		1 2	2			1 2
		1 2				1 2

		t	u	x			t	u	x
		t		x			t		x	2
t			c2	1	, t			c2		2
			c2					c2			,
											,
1	1		2		2	1		2
	1		2			1		2

, t t .

Отже, в системі K

ці події,

залишаючись просторово розділеними,

виявляються і

неодночасними.

визначається

знаком

виразу

u x1 x2 , тому в

різних точках

Знак різниці t2

системи K

буде неоднаковою за величиною і за знаком.

(при різних u) різниця t2

Нехай в деякій точці, яка нерухома в системі K, відбувається подія, тривалість якої

t2 t1 . Тривалість цієї події в системі K

t2 t1

1 2

або

1 2

Отже, і тривалість події, що відбувається в деякій точці, найменша в тій інерціальній системі відліку, відносно якої ця точка нерухома.

Отже, годинники, які рухаються відносно інерціальної системи відліку, йдуть повільніше від нерухомих годинників.

Фізичні основи механіки

Нехай деяке тіло (наприклад, стрижень) розміщене вздовж осі OX , рухається разом з

системою відліку K				, де		і		- координати початку і
	і має в цій системі довжину l0 x2		x1		x1		x2
кінця стрижня, які не змінюються з часом		t . Визначимо довжину стрижня в системі K,

відносно якої він рухається з швидкістю u. Для цього треба виміряти координати його кінців

x1 і x2 в системі K в один і той самий момент часу t:
l x		x	x2 u t		x1 u t		x2 x1
l x		x
0	2	1		1 2		1 2		1 2
				1 2		1 2		1 2

тобто

l l0 1 2 .

Отже, довжина стрижня, яка виміряна в системі, відносно якої він рухається, є

меншою від довжини, виміряної в системі, відносно якої стрижень знаходиться у стані спокою.

Поперечні розміри тіла не залежать від швидкості його руху і однакові у всіх інерціальних системах відліку.

§26. Релятивістський закон додавання швидкостей

Розглянемо рух матеріальної точки в системі K , яка рухається відносно системи K із швидкістю u. Якщо в системі K рух точки в кожний момент часу t визначається координатами

x, y, z, а в системі K

, то

в момент часу t – координатами x , y , z

, y

, z

є проекціями вектора швидкості точки відносно систем K і K на відповідні координатні осі. Використаємо перетворення Лоренца

dx dx u dt , dy dy , dz dz ,

1 2


	dt		u	dx			u
	dt		2	dx		,	u
dt			c					.
			c				c

		1			2
					2

Розділимо перші три рівності на четверту:

dx u dt

1 2

dt 1

Фізичні основи механіки

1 2

В результаті отримуємо формули перетворення швидкостей при переході від однієї системи відліку до іншої:

1 2

, y

1 2

Аналогічно

1 2

Якщо матеріальна точка рухається паралельно до осі X, то швидкість відносно

системи K збігається з x , а швидкість

відносно K

– з x . Тоді

Якщо швидкості , і u малі порівняно з швидкістю c, то

= u , = u .

Якщо c , то
	c u	c u	c c .
			c c .
	c u	c u

1
	c2
Нехай u c .
		c c		c .

		1	c c
			c2

При додаванні довільних швидкостей їх сума не може перевищити швидкості світла c

у вакуумі.

§27. Елементи релятивістської динаміки. Взаємозв’язок маси і енергії

Другий закон Ньютона для матеріальної точки

				d
		d
F	m		або F		m	,
		dt		dt

Фізичні основи механіки

в якому маса m точки вважається сталою і однаковою у всіх інерціальних системах відліку, виявляється не інваріантним по відношенню до перетворення Лоренца. Отже, цей закон не може служити основою релятивістської динаміки.

У релятивістській механіці,	як	і в ньютонівській, імпульс		матеріальної	точки
			p
пропорційний до її маси m	і	збігається за напрямком	з		цієї
				швидкістю

точки. Проте, на відміну від ньютонівської механіки, імпульс матеріальної точки є нелінійною

функцією її швидкості:

p m

де m

– релятивістська маса, а m0

– маса спокою матеріальної точки, тобто маса,

яка виміряна в тій інерціальній системі відліку, відносно якої матеріальна точка знаходиться в стані спокою.

Основний закон релятивістської динаміки: швидкість зміни імпульсу матеріальної

точки дорівнює силі F , що діє на цю точку, тобто


																	dP F ,

																	dt


									d								m0
																									F .


								dt								1				2
																1				c		2
																				c
Елементарна	робота сили										на						малому
Елементарна	робота сили					F					на						малому									переміщенні dr									точки її прикладення
дорівнює:

		dA F ,dr												F , dt															,dp
																																		2
																				d								m d
												m0										c	2						0				2
		m0 d																				c											2

																						3											2 3 2
					2
					2																2			2
			1		c		2						1 -															1
					c														c2												c		2
		2 )

(тут враховано, що d d 2
				m c											2
				m c					2d						2
					0										2												m0
											c									c			2				m0
																								d								.
																	3
										2							3												2
						1				2								2									1		2
				2		1																					1		c	2
										c		2																	c
										c

Приріст кінетичної енергії dEк матеріальної точки дорівнює роботі dA :

Фізичні основи механіки



	m
dEк c2d	0			c2dm .

		2
	1	2
	1	c	2
		c

Інтегруючи отримане співвідношення, маємо:

Eк	m c2				C .
Eк	0				C .

		1	2
		1	c	2
			c	2

При 0 , Ek 0 і C m0c2 .

Отже, релятивістський вираз для кінетичної енергії частинки має вигляд:

При c ,	1	2
		c2

малості:

Тоді



E		m c2	1			1	mc2	m c2 .
E	к	m c2				1	mc2	m c2 .
	к	0		2				0
			1	2
			1	c	2
				c

розкладемо в ряд, обмежившись членами другого порядку

				2						1
		1												.
		1		c2			1			1 2				.
				c2						1 2

										2 c2
										2 c2


E		m c2						1				1
E	к	m c2										1
	к		0						2
						1			2
						1				c	2
										c
					1	2							m0		2
m c2			1		1			1					m0			.
m c2			1			2		1								.
	0				2 c	2								2
					2 c									2

Ейнштейн узагальнив положення dEк c2dm , передбачивши, що воно справедливе не лише для кінетичної енергії матеріальної точки, але і для повної енергії, а саме: довільна зміна маси m супроводжується зміною повної енергії матеріальної точки:

E c2 m .