Фізика, частина 1

Фізичні основи механіки

I. ФІЗИЧНІ ОСНОВИ МЕХАНІКИ

§1. Швидкість і прискорення

Матеріальна точка, рухаючись, описує деяку лінію в просторі. Ця лінія називається

траєкторією. Залежно від форми траєкторії рух може бути прямолінійним або криволінійним.

Розглянемо рух матеріальної точки вздовж довільної криволінійної траєкторії (рис. 1)

Х

Y Рис. 1

Положення точки, що рухається вздовж траєкторії будемо задавати радіус-вектором

r , який проведений в цю точку з точки О, яка прийнята за початок координат. Оскільки декартові координати точки x, y, і z числово збігаються з проекціями вектора r на осі координат, то має місце розкладання:

положення її в даний момент часу, називається вектором переміщення.

Щоб охарактеризувати рух матеріальної точки, вводять векторну фізичну величину –

швидкість, яка характеризує не тільки швидкість руху частинки вздовж траєкторії, але й напрямок в якому рухається частинка в кожний момент часу.

Нехай матеріальна точка рухається по якійсь криволінійній траєкторії (рис. 2).

O

Х

Y Рис. 2

9

Фізичні основи механіки

величини t :

r

t .

Швидкість можна також подати у вигляді:

Таким чином, проекції швидкості дорівнюють похідним відповідних координат за

часом.

Модуль швидкості можна обчислити через проекції швидкості:

x2 y2 z2 .

Числове значення миттєвої швидкості дорівнює першій похідній за часом від S t :

t

Довжина шляху, який пройдений точкою за проміжок часу від t1 до t2,

10

Фізичні основи механіки

Це саме прискорення можна виразити через його проекції на координатні осі:

11

Фізичні основи механіки

швидкості лише за напрямком. Це прискорення завжди перпендикулярне до напрямку швидкості. Для його обчислення припустимо, що точка В досить близька до точки А, тому S

можна вважати дугою кола радіусом R, при цьому за величиною ця дуга мало відрізняється від хорди АВ. З подібності трикутників ОАВ і BDC отримаємо:

Таким чином

12

Фізичні основи механіки

видно, що:

tg an . a

Розглянемо рівнозмінний прямолінійний поступальний рух тіла вздовж осі ОХ.

Оскільки

В результаті залежність від часу координати х будь-якої точки має вигляд:

xt x0 x0 t axt 2 . 2

Тут x0 і x0 - значення х і x в момент часу t=0.

§2. Закони динаміки матеріальної точки

В основі динаміки, яка розглядає закони руху тіл і ті причини, що його викликають або змінюють, лежать закони Ньютона.

Перший закон Ньютона: всяка матеріальна точка (тіло) зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, доки дія з боку інших тіл не змусить її змінити цей стан.

Перший закон Ньютона називають законом інерції, а властивість тіл зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху без дії на них інших тіл називають

інертністю.

Системи відліку, відносно яких виконується перший закон Ньютона, називаються

інерціальними системами відліку. Зміст першого закону Ньютона зводиться до двох

тверджень:

13

Фізичні основи механіки

1)всім тілам властива інертність;

2)існують інерціальні системи відліку.

Інерціальних систем існує нескінчена множина. Довільна система відліку, яка рухається відносно деякої інерціальної системи прямолінійно і рівномірно, буде також інерціальною.

Інерціальною системою відліку можна вважати систему відліку, зв’язану із Сонцем, - початок координат знаходиться в центрі Сонця, а осі проведено в напрямку певних зірок. Система відліку, яка зв’язана із Землею,

строго кажучи, неінерціальна.

Проте здебільшого в практичних задачах ефекти, які зумовлені неінерціальністю земної системи відліку, дуже малі. Тому надалі вважатимемо цю систему відліку інерціальною.

Перш ніж розкривати зміст другого закону Ньютона, зупинимось на поняттях маси і

сили.

Фізична величина, яка є мірою

інертності матеріальної точки, називається інертною масою mi . Маса тіл теж характеризує здатність його взаємодіяти з іншими тілами згідно з законом всесвітнього тяжіння. В цьому випадку маса є мірою гравітаційної взаємодії і називається гравітаційною масою mг . В

сучасній фізиці з високим ступенем точності встановлено, що mi mг , якщо швидкість матеріальної точки набагато менша від швидкості світла у вакуумі.

Маса тіла – скалярна величина і, як показує дослід, маса – величина адитивна: маса тіла дорівнює сумі мас всіх частинок цього тіла. Відповідно маса довільної механічної системи дорівнює сумі мас всіх матеріальних точок, на які цю систему можна уявно розбити.

Щоб виміряти масу тіла, треба порівняти її з еталоном, який прийнятий за одиницю маси. У повсякденній практиці порівнюють маси тіл на важільних терезах.

Найважливішою характеристикою взаємодій тіл є сила.

Силою називається векторна величина, що є мірою механічної дії на тіло з боку інших тіл, внаслідок якої тіло отримує прискорення або змінює свою форму і розміри.

В кожний момент часу сила характеризується числовим значенням, напрямком у просторі і точкою прикладання.

Точку прикладання сили можна перенести вздовж її напрямку не змінюючи в цілому дії сили на тіло Але таке перенесення точок прикладання сили змінює розподіл деформацій і сил пружності в реальному тілі.

Другий закон Ньютона встановлює зв’язок між взаємодією тіл і зміною їх поступального руху і тому він є основним законом динаміки поступального руху.

Якщо на одне і те ж тіло діють різні сили, то виявляється, що прискорення, яке набуває тіло, завжди прямо пропорційне величині прикладеної сили:

a ~ F m const .

14

Фізичні основи механіки

При дії одної і тої ж сили на тіла з різними масами їх прискорення буде обернено пропорційними до маси тіл:

Використовуючи ці вирази і враховуючи, що сила і прискорення векторні величини,

отримаємо:

F a k m ,

де k – коефіцієнт пропорційності, який залежить від вибору одиниць вимірювання. Отриманий вираз виражає зміст другого закону Ньютона:

прискорення, що його набуває тіло, прямо пропорційне до сили, яка діє на нього, і

обернено пропорційне до маси цього тіла; за напрямком прискорення збігається із силою:

В системі одиниць SI коефіцієнт пропорційності k=1 і

dt

Цей вираз називається рівнянням руху матеріальної точки і дозволяє дати другому закону Ньютона більш загальне формулювання:

швидкість зміни імпульсу матеріальної точки дорівнює силі, яка діє на точку.

Другий закон Ньютона справедливий лише в інерціальних системах відліку.

При дії на матеріальну точку кількох сил виконується принцип не залежності дії сил:

якщо на матеріальну точку діють одночасно кілька сил, то кожна з цих сил надає матеріальній точці прискорення, що визначається другим законом Ньютона так, нібито інших сил не було.

Взаємодія між матеріальними точками (тілами) визначається третім законом

Ньютона:

сили взаємодії двох матеріальних точок в інерціальній системі відліку однакові за модулем, напрямлені у протилежні сторони і діють вздовж прямої, що з’єднує ці точки:

де Fiк – сила, що діє на i-у точку з боку k-ї точки, а Fкi – сила, що діє на k-у точку з боку i-ї.

Сили Fiк і Fкi прикладені до різних точок (рис. 5).

15

Фізичні основи механіки

ШІЛЛЕР МИКОЛА МИКОЛАЙОВИЧ

(1848-1910)

Зробив внесок у розвиток понять сили і маси. Розрізняв статичне і кінематичне тлумачення сили. Висунув ідею про можливість побудови механіки мас без явного використання поняття сили

§3. Закон збереження імпульсу

Сукупність матеріальних точок (тіл), які розглядаються як єдине ціле, називається

механічною системою. Сили взаємодії між матеріальними точками механічної системи

називаються внутрішніми. Сили, з якими на матеріальні точки

системи діють зовнішні тіла називаються зовнішніми. Механічна система, в якій тіла взаємодіють між собою і на яку не діють зовнішні сили, називається замкненою.

зовнішніх сил, що діють на кожне з цих тіл, а Fiк - внутрішня сила, яка діє на і-е тіло з боку к-

го.

На рис. 6 наведені рівнодійні зовнішніх сил і внутрішні сили, які діють між тілами механічної системи, що складається, наприклад, із трьох тіл. Запишемо другий закон Ньютона для кожного з n тіл механічної системи:

……………………………………………

Додаючи почленно ці рівняння, знаходимо:

16

Фізичні основи механіки

n

F n 1 n Fn n 1 Fi . i 1

де P – імпульс системи, а F – головний вектор зовнішніх сил.

Отже, похідна за часом від імпульсу механічної системи дорівнює головному вектору зовнішніх сил, що діють на систему.

У випадку замкненої системи

i 1

Цей вираз є законом збереження імпульсу: імпульс замкненої системи зберігається, тобто не змінюється із бігом часу.

Закон збереження імпульсу є наслідком однорідності простору, яка полягає в тому,

що фізичні властивості і закони руху замкненої системи не залежать від вибору положення початку координат інерціальної системи відліку.

§4. Центр мас (інерції) механічної системи і закон його руху

Центром мас, або центром інерції системи матеріальних точок називається точка C,

радіус-вектор rc якої дорівнює

i 1

Отже, центр мас - це геометрична точка, для якої сума добутків мас всіх матеріальних точок, що утворюють механічну систему, на їх радіус-вектори, які проведені з цієї точки, дорівнює нулю.

Швидкість центра мас

17

Фізичні основи механіки

тобто імпульс системи дорівнює добутку величини маси системи на величину швидкості руху її центра мас.

Продиференціювавши це рівняння за часом, отримуємо:

Центр мас механічної системи рухається як матеріальна точка, в якій зосереджено всю масу системи і на яку діє сила, що дорівнює головному вектору прикладених до системи зовнішніх сил.

§5. Робота сили та її вираз через криволінійний інтеграл

на переміщенні r , характеризують величиною, яку називають1роботою. A