Фізика, частина 1

Фізичні основи механіки

напрямлена до положення рівноваги. Тому її називають повертальною силою. Фаза сили F

збігається з фазою прискорення.

Прикладом сил, що задовольняють співвідношення F k x , є пружні сили. Сили F ,

Це диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань, збуджених пружними або квазіпружними силами.

Загальними розв’язками цього диференціального рівняння є функції:

Кінетична енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює:

Eк 21 m 2 m2 A2 02 sin2 0t 0m4 A2 02 1 cos 2 0t 0 .

Потенціальна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання під дією квазіпружної сили, дорівнює:

x

1

En Fx d x 2 m 02 x2

0

m2 A2 02 cos2 0t 0

m4 A2 02 1 cos 2 0t 0 .

Кінетична і потенціальна енергії здійснюють гармонічні коливання з циклічною частотою 2 0 і амплітудою 41 m A2 02 біля середнього значення 41 m A2 02 .

Повна механічна енергія коливної точки:

E Eк En 21 m 02 A2 .

Графіки залежностей Eк , En і E від часу t для випадку 0 0 наведено на рис. 24.

39

Фізичні основи механіки

Рис. 24

Квазіпружна сила є консервативною. Тому повна енергія гармонічного коливання залишається сталою. У процесі коливання відбувається перетворення кінетичної енергії в потенціальну і навпаки. В момент найбільшого відхилення точки від положення рівноваги повна енергія складається лише з потенціальної енергії. При проходженні точки через положення рівноваги повна енергія складається лише з кінетичної енергії, яка в цей момент є максимальною.

Отже, пружинний маятник здійснює вільні гармонічні коливання за законом x Acos 0t 0

з власною циклічною частотою

0 k m

і періодом

40

Фізичні основи механіки

Період коливань Т не залежить від амплітуди А.

Ця формула справедлива для пружних коливань в межах, в яких виконується закон Гука, та коли маса пружини мала порівняно з масою тіла.

Потенціальна енергія пружинного маятника дорівнює:

невагомій і нерозтяжній нитці. На практиці математичним маятником можна вважати важке

тіло, яке підвішене на легенькій нитці, довжина якої набагато більша, ніж розміри тіла

(рис. 26). Якщо відхилити маятник з положення рівноваги так, щоб нитка утворювала кут з

рухається маятник, можна вважати відрізком прямої. Силу що повертає маятник до положення рівноваги, можна вважати квазіпружною силою:

F mlg x k x .

Отже, малі коливання математичного маятника – гармонічні.

Період цих коливань дорівнює:

Період малих коливань математичного маятника не залежить від амплітуди коливань.

Математичний маятник зберігає площину, в якій він коливається.

Спостереження над коливаннями маятників використовуються для визначення прискорення g сили тяжіння.

Фізичний маятник – абсолютно тверде тіло, що здійснює коливання під дією сили тяжіння навколо горизонтальної осі О, яка не проходить через його

m g

Рис. 27

Фізичні основи механіки

перпендикулярна до OC , намагається повернути маятник у положення рівноваги.

Відповідно до рівняння динаміки обертального руху твердого тіла момент М обертальної сили F можна записати у вигляді:

M J J F l m g l sin m g l ,

де J - момент інерції маятника відносно осі, що проходить через точку O, l - відстань між точкою підвісу і центром мас маятника, sin відповідає малим коливанням маятника. Тоді

отримаємо рівняння

02 0 .

Розв’язок цього рівняння такий:

0 sin 0t 0 .

При малих коливаннях фізичний маятник здійснює гармонічні коливання з частотою

0 і періодом

зведеної довжини L, називається центром гойдання фізичного маятника.

Точка підвісу O і центр гойдання O мають властивість спряженості: якщо вісь підвісу проходить через центр гойдання, то точка O попередньої осі підвісу стане новим центром

гойдання і період гойдання фізичного маятника не зміниться.

За теоремою Штейнера маємо:

J Jc ml 2 ,

де Jc - момент інерцій маятника відносно осі, що проходить через центр мас. Отже,

бачимо, що якщо зведена довжина L фізичного маятника дорівняє довжині l математичного маятника, то їх періоди коливань одинакові.

42

Фізичні основи механіки

Отже, зведена довжина фізичного маятника – це довжина такого математичного маятника, період коливання якого дорівнює періоду коливань даного фізичного маятника.

Формулу для періоду Т математичного маятника можна отримати з виразу

якщо розглядати математичний маятник як окремий випадок фізичного, в якому вся маса зосереджена в центрі мас C на віддалі L від підвісу, що дорівнює довжині l нитки

де - максимальний кут відхилення маятника.

ГЛІБОВИЦЬКИЙ КЛИМ

(1875-1907)

В 1895 р. написав роботу „Права руху маятника” (на основі теорії еліптичних функцій) в якій розглянув закони коливання матеріальної точки масою m=1, що є підвішеною на нитці сталої довжини l. Отримав вираз для періоду коливань, дослідив зміну координати z точки з часом.

§15. Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакової частоти. Биття

Перш ніж розглядати додавання коливальних рухів, спинимось на способі зображення коливань за допомогою обертального вектора амплітуди.

Для цього із довільної точки О, яка вибрана на осі X, під кутом 0 , що дорівнює

початковій фазі коливань, відкладемо вектор A , модуль якого дорівнює амплітуді A

коливання (рис. 28).

Рис. 28

Проекція вектора A на вісь OX дорівнює зміщенню x0 у момент початку відліку часу

t 0 :

x0 Acos 0 .

Обертатимемо вектор амплітуди навколо осі O, яка перпендикулярна до площини рисунка, з кутовою швидкістю 0 . За проміжок часу t вектор амплітуди повертається на кут

0t . Проекція вектора A в цьому положенні на вісь ОХ дорівнює:

43

Фізичні основи механіки

x Acos 0t 0 .

За час Т, що дорівнює періоду коливань, вектор амплітуди повертається на кут 2 , а

проекція його кінця зробить одне повне коливання навколо положення рівноваги O, отже,

обертовий вектор амплітуди повністю характеризує гармонічне коливання.

Нехай точка бере участь у двох гармонічних коливаннях однакової частоти, які напрямлені вздовж однієї прямої:

Ці коливання зручно додати, користуючись методом обертального вектора амплітуди.

Для цього відкладемо з точки О під кутом 01 вектор амплітуди A1 , а під кутом 02 - вектор

амплітуди A2 (рис. 29).

Оскільки вектори A1 і A2 обертаються з однаковою кутовою швидкістю, то різниця фаз

02 01 між ними постійна. Оскільки сума проекцій двох векторів на одну вісь дорівнює проекції на ту саму вісь вектора, який є їх сумою, то результуюче коливання можна подати

Амплітуда A результуючого коливання залежить від різниці початкових фаз 02 01

коливань, що додаються. Можливі значення A лежать в межах

A1 A2 A A2 A1 .

Розглянемо кілька окремих випадків.

44

Фізичні основи механіки

1). 02 01 2 m , m 0, 1, 2,... .

Розглянемо аналітичний метод знаходження результуючого коливання в деяких простих випадках:

а) частоти і фази коливань, що додаються, однакові, амплітуди різні:

xx1 x2 A1 cos 0t 0

A2 cos 0t 0 A1 A2 cos 0t 0 .

Амплітуда результуючого коливання Ap дорівнює сумі амплітуд коливань, що

додаються.

б) частоти і амплітуди однакові, фази відрізняються на :

обертається зі змінною швидкістю. Результуючим рухом буде в цьому випадку не гармонічне коливання, а деякий складний коливний процес.

Особливий інтерес становить випадок, коли два гармонічні коливання однакового

напрямку, що додаються, мало відрізняються за частотою.

Періодичні зміни амплітуди коливання, які виникають при додаванні двох

гармонічних коливань одного напрямку з близькими частотами, називаються биттями.

Нехай амплітуди коливань

Рис. 31

Фізичні основи механіки

§16. Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Нехай матеріальна точка C одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях з однаковою частотою у двох взаємно перпендикулярних напрямках як вздовж осі Х, так і вздовж осі Y (рис. 31). Якщо збудити обидва коливання, матеріальна точка буде рухатись вздовж деякої криволінійної траєкторії, форма якої залежить від різниці фаз обох коливань.

Виберемо початок відліку часу так, щоб початкова фаза першого коливання дорівнювала нулю. Тоді рівняння коливань матимуть такий вигляд:

рівняння траєкторії, вздовж якої рухається точка, що бере участь в обох коливаннях. Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, треба виключити з цих рівнянь параметр t . Проведемо наступні перетворення:

46

Фізичні основи механіки