Фізика, частина 1

Фізичні основи механіки

то елементарна робота

dA Fxdx Fydy Fzdz ,

де Fx , Fy , Fz - проекції сили на координатні осі; dx, dy, dz – зміни координат радіус-вектора

Сила, що діє на тіло, не виконує роботу, якщо:

а) тіло перебуває у спокої (dS=0);

б) сила перпендикулярна до напрямку переміщення тіла 90 .

Якщо 2 , то робота сили додатна і силу F називають рушійною силою. Якщо кут

19

Фізичні основи механіки

Сила F , що діє на матеріальну точку або на тіло, яке рухається поступально,

називається консервативною або потенціальною, якщо робота A1 2 , яка виконується цією силою при переміщенні точки (тіла) з одного довільного положення 1 в інше 2, не залежить від того, вздовж якої траєкторії відбулось це переміщення (рис. 9):

A1 a 2 A1 b 2 A1 2 .

Зміна напрямку руху вздовж траєкторії на протилежний спричинює зміну знака роботи (кут замінюється на і cos змінює свій знак). Тому робота консервативної сили при переміщенні матеріальної точки вздовж замкненої траєкторії L (1-а-2-b-1) тотожно дорівнює нулю:

( F ,dr ) A1 a 2 A2 b 1 0 .

L

Прикладами консервативних сил можуть бути сили тяжіння, гравітаційні сили, сили пружності, сили електростатичної взаємодії між зарядженими тілами.

§6. Кінетична енергія механічної системи

Кінетичною енергією механічної системи називається енергія механічного руху цієї

системи.

Сила F , яка діє на тіло і викликає його рух, виконує роботу, а енергія рухомого тіла зростає на величину виконаної роботи:

dEк dA .

Використовуючи скалярний запис другого закону Ньютона і помноживши обидві частини на елементарний шлях dS, отримаємо

m ddt dS FdS .

Оскільки dSdt , то

dA FdS m d dEк

і

Отже, кінетична енергія тіла, що рухається поступально дорівнює половині добутку маси цього тіла на квадрат його швидкості.

Проінтегруємо співвідношення m d dA вздовж деякої траєкторії від точки 1 до точки 2 в яких швидкість тіла 1 і 2 відповідно:

2 2

m d dA .

Звідси,

20

Фізичні основи механіки

Отже, зміна кінетичної енергії тіла дорівнює роботі, яка виконується над тілом.

Кінетичній енергії тіла можна надати і такого вигляду:

Eк m 2 m 2 P2 ,

2 2m 2m

де Р – імпульс тіла.

Кінетична енергія тіла не може бути від’ємною.

Повна кінетична енергія Eк системи дорівнює сумі кінетичних енергій Eкi всіх тіл, що входять до неї:

Кінетична енергія системи залежить від величини мас і швидкостей руху тіл, що входять до неї. При цьому неістотно, як тіло з масою mi набуло швидкості i . Цей висновок можна сформулювати так: кінетична енергія системи є функцією стану її руху.

його кінетична енергія системи будуть неоднакові.

Кінетична енергія системи залежить від вибору системи відліку, тобто є величиною відносною.

Якщо в інерціальній системі відліку (і.с.в.) К кінетична енергія системи дорівнює E ,

к

то в і.с.в. K , яка рухається відносно К поступально з швидкістю c , центра мас системи, то

де m – маса системи, Eк - кінетична енергія системи відносно і.с.в. K .

Ця рівність описує теорему Кюніга: кінетична енергія механічної системи дорівнює сумі кінетичної енергії цієї системи при її русі відносно і.с.в. K , яка поступально рухається з початком в центрі мас і кінетичної енергії, яку мала би матеріальна точка, що має масу,

яка дорівнює масі всієї системи і рухається зі швидкістю її центра мас.

§7. Потенціальна енергія

Потенціальною енергією механічної системи називається енергія, яка залежить від її конфігурації, тобто від взаємного розміщення всіх матеріальних точок системи і характеру консервативних сил, які діють між точками.

Робота A12 , що виконується консервативними силами при зміні конфігурації системи,

не залежить від того, як здійснюється процес переходу з початкової конфігурації системи (1)

21

Фізичні основи механіки

в кінцеву (2). Робота A12 повністю визначається початковою і кінцевою конфігураціями системи. Отже, роботу A12 можна подати у вигляді різниці значень деякої функції конфігурації системи En x, y,z , яка називається потенціальною енергією системи:

A12 En1 En2 En2 En1 .

Робота потенціальних сил дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи.

Відповідно елементарна робота консервативних сил при малій зміні конфігурації системи

де С – стала інтегрування, тобто потенціальна енергія визначається з точністю до деякої довільної сталої. Це не відбивається на фізичних законах, оскільки в них входить або різниця

кожній задачі для отримання однозначної залежності потенціальної енергії системи від її конфігурації вибирають нульову конфігурацію, в якій потенціальну енергію системи вважають такою, що дорівнює нулеві.

Якщо відомий вираз функції En x, y,z , то можна знайти силу, що діє на матеріальну точку. Розглянемо переміщення точки паралельно осі ОХ на dх. Таке переміщення супроводжується виконанням над точкою роботи dA Fxdx . Та сама робота дорівнює зменшенню потенціальної енергії: dA dEn . Прирівнявши обидва вирази для роботи,

отримаємо:

Тут ураховано те, що похідна відносно x обчислюється при умові, що координати y i z

залишаються сталими.

Для компонент сил вздовж осей ОY i ОZ отримують аналогічні вирази. Отже,

який побудований за допомогою скалярної функції En , називається градієнтом функції En і

22

Фізичні основи механіки

позначається grad En . Напрямок вектора grad En збігається з напрямком осі l, вздовж якої потенціальна енергія зростає з найбільшою швидкістю.

Отже, сила, що діє на матеріальну точку в потенціальному полі, дорівнює взятому

де Eп 0 – значення потенціальної енергії матеріальної точки на рівні z=0.

Наприклад, для тіла масою m, що знаходиться в однорідному полі сили тяжіння біля

поверхні Землі,

Fz mg

( g – прискорення вільного падіння) і потенціальна енергія

Eп h mgh ,

де h – висота тіла над поверхнею Землі, а початок відліку енергії Eп вибрано так, що біля поверхні Землі Eп =0.

2. Потенціальна енергія матеріальної точки в полі центральних сил.

Сили, що діють на матеріальну точку, називаються центральними, якщо вони напрямлені вздовж прямих, що проходять через одну і ту саму нерухому точку – центр сил і залежать лише від відстані r до центра сил (рис. 11):

притягання Fr r <0.

Знайдемо потенціальну енергію матеріальної точки: dEn dA Fr r dr ,

23

Фізичні основи механіки

r

En r En Fr r dr .

За початок відліку потенціальної енергії в даному випадку приймають енергію матеріальної точки, що знаходиться нескінченно далеко від центра сил, тобто вважають

Eп 0 і

3. Потенціальна енергія пружнодеформованого тіла

Під час деформації пружного тіла в ньому виникають внутрішні сили, які перешкоджають деформації тіла і називаються силами пружності. У разі поздовжнього розтягу або стиску тіла (наприклад, пружини вздовж осі ОX) сила пружності

де k – коефіцієнт пружності, який характеризує пружні властивості тіла; xi - вектор деформації ( i - орт вздовж осі ОX).

Знайдемо потенціальну енергію пружнодеформованого тіла, вважаючи, що вона

дорівнює нулю у недеформованого тіла, тобто при х=0:

§8. Закон збереження механічної енергії. Дисипація енергії. Закон збереження і перетворення енергії

Розглянемо систему матеріальних точок, маси яких m1 , m2 ,..., mn , що рухаються із

консервативними. Вважатимемо, що на матеріальні точки діють ще і зовнішні неконсервативні сили; рівнодійні цих сил, що діють на кожну з матеріальних точок,

позначимо f1 , f2 , … fn .

Зміна кінетичної енергії

при малому переміщенні dri точок дорівнює сумі робіт, виконаних при цьому всіма силами:

де d AF AF - суми елементарних робіт виконаних над матеріальними точками системи

24

Фізичні основи механіки

всіма консервативними силами, а dA f - зовнішніми неконсервативними силами.

Стан системи матеріальних точок визначається і їх конфігурацією. Зміна потенціальної енергії системи дорівнює роботі консервативних сил. При малій зміні конфігурації системи

dEn d AF AF .

Із виразів для dEк і dEn маємо

dEк dEn dA f , d Eк En dA f .

Сума кінетичної і потенціальної енергії системи називається її повною механічною енергією

E Eк En .

У разі переходу системи із стану 1 в який-небудь стан 2

тобто зміна повної механічної енергії системи при переході з одного стану в інший дорівнює роботі, яка виконана при цьому зовнішніми неконсервативними силами.

Якщо зовнішні неконсервативні сили відсутні, то

d Eк En 0 і Eк En E const .

Це рівняння виражає закон збереження механічної енергії: в системі тіл, між якими діють лише консервативні сили, повна механічна енергія зберігається, тобто не змінюється з часом.

Закон збереження механічної енергії пов’язаний з однорідністю часу. Ця властивість виявляється в тому, що закони руху замкненої системи не залежать від вибору початку відліку часу.

Механічні системи, на тіла яких діють лише консервативні сили, називаються

консервативними.

Існує ще один вид систем – дисипативні системи, в яких механічна енергія поступово зменшується за рахунок перетворення в інші форми енергії. Цей процес називається дисипацією енергії. Усі процеси в природі є дисипативними.

При „зникненні” механічної енергії завжди виникає еквівалентна кількість енергії іншого виду. Перетворення енергії під час її дисипації відбувається у відповідності із законом

збереження енергії:

Енергія не виникає і не зникає, а тільки передається від одного тіла до іншого або перетворюється з одного виду в інший в еквівалентних кількостях.

В цьому і полягає фізична суть закону збереження і перетворення енергії – суть незнищуванності матерії та її руху.

ПРОКОПОВИЧ ФЕОФАН

(1677-1736)

Сформулював (1708р.) загальне філософське положення про те, що матерія не виникає, не руйнується, а зберігається: „Першу матерію не можна ніколи ні створити, ні зруйнувати, також ні

25

Фізичні основи механіки

збільшити, ні зменшити, і ту, яку створено на початку світу, і якою і в якій кількості створена, такою залишається досі й буде залишатися назавжди.”

А це є ніщо інше, як формулювання універсального філософського принципу збереження матерії. В ньому визначається не тільки кількісне, але й якісне збереження матерії, чого не було у висновках попередніх натурфілософів.

Першою та основною властивістю фізичного тіла Ф. Прокопович вважав рух, оскільки ним можна обґрунтувати усі явища природи. Пов’язував рух тіл з простором і часом, відкидав можливість існування тіл поза простором і часом.

§9. Кутова швидкість і кутове прискорення

Розглянемо обертання абсолютно твердого тіла – тіла, відстань між будь-якими

двома точками якого стала, які б не були сили, що діють на нього.

Обертанням абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі називається такий його рух, при якому всі точки тіла рухаються в площинах,

перпендикулярних до нерухомої прямої, що називається віссю обертання тіла, і описують кола, центри яких лежать на цій осі

навколо осі обертання із деякого умовно вибраного початкового

положення цього тіла. Обертання навколо нерухомої осі здійснюють ротори турбін,

електричних генераторів і двигунів, колісні вали двигунів внутрішнього згоряння і т. д.

Обертанням абсолютно твердого тіла навколо нерухомої точки – центра обертання – називається рух тіла, яке закріплене в одній нерухомій точці. Такий рух абсолютно твердого тіла в кожний момент часу можна розглядати як обертання навколо нерухомої осі, що проходить через центр обертання і називається миттєвою віссю обертання тіла. Положення миттєвої осі відносно нерухомої системи відліку, а також самого тіла з плином часу може змінюватися. Для однозначного задання положення такого

тіла в просторі потрібно задати значення трьох незалежних координат.

26

Фізичні основи механіки

напрямлений вздовж осі обертання за правилом правого гвинта: з кінця вектора d поворот тіла відбувається проти ходу годинникової стрілки.(рис. 13)

Вектори, напрямки яких зв’язуються з напрямком обертання, називаються псевдовекторами. Ці вектори не мають певних точок прикладання: вони можуть відкладатися з довільної точки осі обертання.

O1

Рис.13

Кінематичною характеристикою напрямку і швидкості обертання тіла є кутова швидкість.

Кутовою швидкістю називається векторна величина, яка дорівнює першій похідній кута повороту тіла за часом:

Вектор напрямлений вздовж осі обертання так, що з його кінця обертання видно проти руху стрілки годинника (рис. 13).

Вектор визначає положення осі обертання, напрямок і швидкість обертання тіла.

Лінійна швидкість точки

Якщо положення точки тіла що обертається визначається радіус-вектором r , який

проведений з будь-якої точки О1 осі ОО1 обертання тіла (рис.13), то векторний добуток

,r

збігається за напрямком з вектором і має модуль, який дорівнює r sin R . Отже,

,r .

Якщо за час t тіло здійснює N обертів, то час, протягом якого обертове тіло здійснює один повний оберт T Nt , називається періодом обертання. З іншого боку, тіло, яке рівномірно обертається з кутовою швидкістю , за час Т повертається на кут . Тому

T 2 .

27

Фізичні основи механіки

Кількість обертів за одиницю часу називається частотою обертання:

Вектор може змінюватися як за рахунок зміни швидкості обертання тіла навколо осі (в такому разі він змінюється за величиною), так і за рахунок повернення осі обертання в просторі (в такому разі він змінюється за напрямком). Зміна вектора кутової швидкості з часом характеризується кутовим прискоренням.

Отже, кутове прискорення дорівнює першій похідній за часом від кутової швидкості.

Кутове прискорення, як і кутова швидкість, є псевдовектором.

У випадку обертання тіла навколо нерухомої осі зміна вектора зумовлюється тільки зміною його числового значення і

28