Фізика, частина 1

Фізичні основи механіки

де – фазова швидкість, а

ОСТРОГРАДСЬКИЙ МИХАЙЛО ВАСИЛЬОВИЧ

(1801-1862)

Розв’язав у 1826 р. задачу поширення хвиль на поверхні води.

§20. Енергія хвилі

Нехай в деякому середовищі поширюється в додатному напрямку осі OX плоска хвиля

Acos t kx 0 .

Визначимо зміну енергії малого об’єму dV пружного середовища, пов’язану з поширенням у середовищі плоскої хвилі. Оскільки об’єм dV дуже малий, то можна вважати,

що всі частинки середовища, які містяться в цьому об’ємі, коливаються в одній фазі, так що їх швидкості однакові і ddt . Тому кінетична енергія об’єму dV, яка пов’язана з коливальним

рухом,

21 A2 2dV sin2 t k x 0 .

Визначаючи роботу деформації об’єму dV середовища під час хвильового руху, можна показати, що потенціальна енергія dEn об’єму dV середовища дорівнює його кінетичній енергії:

d En d Ek 21 A2 2dV sin2 t k x 0 .

Повна механічна енергія коливального руху об’єму dV дорівнює d E d Ek d En

A2 2d V sin2 t k x 0 .

Об’ємна густина енергії хвиль у пружному середовищі

w dd VE A2 2 sin2 t k x 0 .

Густина енергії в кожний момент часу в різних точках простору різна. В одній і тій же точці густина енергії змінюється з часом за законом квадрату синуса. Середнє значення

квадрата синуса дорівнює 21 . Відповідно середнє за часом значення об’ємної густини

енергій в кожній точці середовища дорівнює:

Рис. 44

Фізичні основи механіки

одних ділянок середовища до інших. Саме тому при хвильовому русі об’ємна густина енергії w коливань у кожній точці середовища змінюється в часі.

Об’ємна густина енергії

w A2 2 sin2 t k x 021 A2 2 1 cos 2 t k x 0 .

Швидкість u поширення енергії хвилі дорівнює швидкості переміщення в просторі поверхні, яка відповідає максимальному значенню об’ємної густини енергії w. Рівняння поверхні w wmax має вигляд:

2 t kx 0 .

Продиференцюємо цей вираз

d t k d x 0.

Звідси швидкість переміщення поверхні

Отже, швидкість поширення енергії хвилі збігається з фазовою швидкістю хвилі.

Для характеристики процесу перенесення енергії хвилями введемо поняття про потік енергії.

Потоком енергії ФЕ крізь яку-небудь поверхню площею S називається фізична величина, яка числово дорівнює кількості енергії dE, яка передається через цю поверхню за одиницю часу:

ФE dEdt .

Знайдемо потік енергії хвилі, що рухається з фазовою швидкістю , через площину dS

(рис. 44). За час dt хвиля перенесе енергію, що міститься всередині косого циліндра, об’єм

якого

Густина потоку енергії – векторна величина, яка напрямлена у бік поширення хвилі

і числово дорівнює потоку енергії dФE крізь одиницю площі dS поверхні, яка розташована перпендикулярно до напрямку поширення хвилі:

Оскільки швидкість – це вектор, модуль якого дорівнює фазовій швидкості хвилі, а

60

Фізичні основи механіки

напрямок збігається з напрямком поширення хвилі (і перенесення енергії), то

Вектор густини потоку енергії хвилі, який називається вектором Умова, дорівнює

добутку вектора швидкості поширення енергії хвилі на величину її об’ємної густини.

Вектор j в різних точках простору має неоднакові значення, а в даній точці простору змінюється з часом за законом квадрата синуса. Середнє значення вектора Умова:

Знаючи j у всіх точках довільної поверхні S, можна обчислити потік енергії через цю поверхню:

I w 21 2 A2 .

Інтенсивність синусоїдальної хвилі пропорційна до квадрата її амплітуди.

§21. Інтерференція хвиль. Рівняння стоячої хвилі

Якщо в середовищі є декілька джерел коливань, то хвилі, які поширюються від них,

йдуть незалежно одна від одної і після взаємного перетину розходяться далі так, ніби такої зустрічі і не було. Це положення називається принципом суперпозиції.

В місцях зустрічі хвиль коливання середовища, які викликані кожною з хвиль,

складаються одне з одним. Результат додавання (результуюча хвиля) залежить від співвідношення фаз, періодів і амплітуд хвиль, що накладаються. Узгоджене проходження в часі і просторі декількох коливань або хвильових процесів пов’язується з поняттям когерентності.

Дві хвилі називаються когерентними, якщо мають однакову частоту і різниця їх фаз залишається сталою в часі.

Інтерференцією хвиль називається явище, яке відбувається при накладанні двох або кількох когерентних хвиль, при якому має місце стійке в часі їх взаємне підсилення в одних точках простору і ослаблення в інших в залежності від співвідношення між фазами цих хвиль.

Розглянемо накладання двох когерентних косинусоїдальних сферичних хвиль, які

61

Фізичні основи механіки

2 A1 A2 cos к r2 r1 2 1 . r1 r2

спостерігається інтерференційний максимум: амплітуда результуючого коливання

A A1 A2 . r1 r2

В точках, де

к r2 r1 2 1

2m 1 , m 0, 1, 2,...

спостерігається інтерференційний мінімум: амплітуда результуючого коливання

m – порядок інтерференційного максимуму або мінімуму.

Оскільки хвильове число k 2 , де – довжина хвилі в даному середовищі, то при

різниці ходу хвиль

г 2m 2 1

2 2

амплітуда результуючого коливання максимальна. Якщо 2 1 0 , то ця умова набирає

вигляду

г 2m 2 .

Амплітуда результуючого коливання мінімальна в усіх точках, для яких

г 2m 1 2 1 .

2 2

62

Фізичні основи механіки

Якщо 2 1 0 , то ця умова набирає вигляду

г 2m 1 2 .

При інтерференції хвиль їхня енергія механічно не підсумовується. Інтерференція хвиль призводить до перерозподілу енергії коливань між сусідніми областями середовища.

На рис. 46 наведені дві системи хвиль, які інтерферують; гребені хвиль зображені суцільними лініями, западини -пунктирними.

S1 S2

Рис. 46

У місцях перетину двох гребенів або двох западин розміщені максимуми коливань( o ), в місцях перетину гребенів і западин розміщені мінімуми( ).

Особливим випадком інтерференції є стоячі хвилі.

Стоячі хвилі – це хвилі, які утворюються при накладанні двох біжучих хвиль, що поширюються назустріч одна одній з однаковими частотами і ампулітудами.

Нехай дві плоскі хвилі поширюються назустріч одна одній вздовж осі ОХ в середовищі без згасання. Рівняння цих хвиль

самою ж частотою , що і коливання зустрічних хвиль

63

Фізичні основи механіки

результуючих хвиль, точніше – амплітуда як величина позитивна дорівнює абсолютному значенню цього множника:

Aст 0 . Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що знаходяться у вузлах, не коливаються. Виберемо початок відліку x так, щоб дорівнювало нулю. Тоді

координати пучностей

xn m 2 ,

а вузлів

xв 2m 1 4 .

Відстань між двома сусідніми пучностями отримаємо, якщо знайдемо різницю двох

значень xn для двох послідовних значень m:

тобто відстань між сусідніми пучностями дорівнює половині довжини тих хвиль, в результаті інтерференції яких утворюється дана стояча хвиля.

Відстані вузла від найближчої пучності дорівнює:

xв xn 2m 1 4 m 2 4 .

64

Фізичні основи механіки

Рис. 48

На рис. 48 наведено характер руху частинок середовища при встановленні в ньому поперечної стоячої хвилі через проміжки часу T4 . Стрілками показано напрямки руху

частинок, які викликані тією чи іншою хвилею. Світлими кружечками на рис. 48 позначені пучності, а темними – вузли.

Отже, в стоячій хвилі є ряд нерухомих вузлових точок, які розміщені на відстані півхвилі одна від одної. Частинки між вузлами коливаються з різними амплітудами, від нуля у вузлі до подвійної амплітуди у пучності. Всі частинки одночасно проходять через положення рівноваги і одночасно досягають максимальних відхилень, отже, коливаються в однакових фазах. В суміжному інтервалі між вузлами характер коливань такий самий, але фаза протилежна.

У стоячій хвилі енергія не переноситься – повна енергія коливань кожного елемента об’єму середовища, обмеженого сусіднім вузлом і пучністю, не залежить від часу. Вона лише переходить з кінетичної енергії в потенціальну енергію пружно деформованого середовища і навпаки. Відсутність перенесення енергії стоячою хвилею є результатом того, що падаюча і відбита хвилі, які утворюють цю стоячу хвилю, переносять енергію в рівних кількостях і в протилежних напрямках.

§22. Рівняння нерозривності. Рівняння Бернуллі

Рух рідин називають течією, а сукупність частинок рухомої рідини – потоком. Течію рідини називають усталеною, або стаціонарною, якщо швидкість рідини у кожній точці

простору, який займає рідина, не змінюється з часом.

65

Фізичні основи механіки

Рух рідин зображають за допомогою ліній течії, які проводять так, що дотичні до них збігаються за напрямком з векторами швидкостей рідини у відповідних точках простору. Лінії течії вказують не тільки напрямок швидкостей, а й дають змогу зробити висновок про

величину швидкості частинок в даному місці.

Зображаючи потік, лінії течії проводять так, щоб їх густина, тобто кількість ліній, які пронизують одиницю площі поверхні, що проведена в потоці перпендикулярно до лінії течії,

числово дорівнювала б швидкості частинок потоку в даному перерізі.

Поверхню, утворену лініями течії, проведеними через усі точки малого замкненого контуру, називають трубкою течії. Частину рідини, обмежену трубкою течії,

називають струменем.

При стаціонарній течії частинки рухаються так, що кожна з них весь час залишається в

межах певної струмини.

Розглянемо трубку течії, настільки тонку, що в кожному її перерізі швидкість можна вважати постійною (рис. 49). Виберемо довільно два перерізи, площі яких дорівнюють S1 і

рідина нестискувальна ( const , де - густина рідини), то за одиницю часу через перерізи

S1 і S2 протечуть однакові об’єми рідини:

S1 1 S2 2 .

Рис. 49

Для нестискувальної рідини добуток площі довільного поперечного перерізу на швидкість течії в цьому перерізі має однакове значення:

S const .

Це співвідношення називається рівнянням нерозривності струменя.

З цього рівняння випливає, що під час стаціонарної течії швидкості руху частинок рідини через два довільних перерізи трубки обернено пропорційні площам цих перерізів.

Найбільша швидкість рідини спостерігається у найвужчому місці трубки, а найменша – у

найширшому.

Нехай по нахиленій трубці течії змінного перерізу рухається ідеальна рідина – рідина,

в якій немає внутрішнього тертя – в напрямку зліва направо (рис. 50).

66

Фізичні основи механіки

знаходиться між S і S , витікає з неї. Величина зміни повної енергії, яка є сумою кінетичної і

2 2

потенціальної енергій маси m рідини, дорівнює різниці повних енергій мас, які витікають і втікають,

S1 рідина повинна переміститися на відстань l1 1 t , а в місці перерізу S2 – на відстань

рідини, відповідно, дорівнюють F1 p1S1 і F2 p2S2 . Сила F2 – від’ємна, оскільки напрямлена в бік, протилежний до течії рідини.

Отже, робота зовнішніх сил із переміщення маси m

A F1l1 F2l2 p1S1 1 t p2S2 2 t .

За законом нерозривності струменя

S1 1 t S2 2 t V .

67

Фізичні основи механіки

В результаті

A p1 V p2 V .

Враховуючи, що E=A, отримуємо

Це співвідношення називається рівнянням Бернуллі. Величина p називається статичним

Рівняння Бернуллі можна сформулювати так: в стаціонарному потоці ідеальної нестискувальної рідини сума статичного, динамічного і гідростатичного тисків є сталою у довільному поперечному перерізі потоку.

Для трубки течії, яка розміщена горизонтально h1 h2 , рівняння Бернуллі має такий вигляд:

2 p const , 2

де 2 p називається повним тиском.

2

Із рівняння Бернуллі для горизонтальної трубки течії і рівняння нерозривності струменя видно, що при течії рідини в горизонтальній трубці, що має різні перерізи,

швидкість рідини більша в місцях звуження трубки, а тиск більший в місцях, де площа

поперечного перерізу трубки більша. Це твердження називається законом Бернуллі.

§23. Перетворення Галілея. Механічний принцип відносності

Розглянемо інерціальну нерухому систему K і систему K , яка рухається відносно K

68