Фізика, частина 1

Фізичні основи механіки

При рівнозмінному ( =const) обертанні із виразу ddt отримуємо:

§10. Момент сили і момент імпульсу механічної системи. Момент інерції тіла відносно осі

Усяке тіло можна умовно поділити на таку кількість n малих частин, щоб розміри їх були малі порівняно з розмірами всього тіла. Отже, тіло завжди можна розглядати як систему з n матеріальних точок, причому маса m тіла дорівнює сумі мас усіх цих точок:

n

m mi . i 1

вільно обертатись. Точка О називається центром обертання твердого тіла. Сумістимо з цією точкою початок нерухомої системи координат. Тоді положення і-ої точки в просторі повністю

векторний добуток радіус-вектора ri , який проведений з точки О в точку прикладання

Вектор M i напрямлений перпендикулярно до площини векторів ri і Fi (рис. 16).

29

Фізичні основи механіки

ri i

здатність сили обертати тіло навколо точки, відносно якої він береться. Коли тіло може обертатися відносно точки О довільно, під дією сили тіло повертається навколо осі, яка перпендикулярна до площини, в якій лежать сила і точка О, тобто навколо осі, що збігається з напрямком моменту сили відносно даної точки.

Моментом сили відносно нерухомої осі ОZ називається скалярна величина M iz , яка

M i

ri mi

O

Рис. 17

Значення моменту M iz не залежить від вибору положення точки О на осі OZ.

Fi

Рис. 18

30

Фізичні основи механіки

проходить через вісь OZ і точку прикладання сили Fi . Складова Fi напрямлена по дотичній

до кола радіусом Ri з центром на осі OZ. Момент сили Fi відносно точки O дорівнює сумі

моментів складових:

Mi MiII MiR Mi .

обертання навколо цієї осі, вона спроможна викликати її тиск на підшипники, в яких вона

закріплена. Також сила FiII , яка паралельна до осі OZ, не викличе відносно неї обертання.

Момент сили відносно осі створюється лише тією складовою сили, яка лежить у площині,

перпендикулярній до осі і не перетинає цю вісь. Момент сили відносно осі характеризує

здатність сили обертати тіло навколо цієї осі.

Векторна сума моментів M i всіх зовнішніх сил, які прикладені до тіла, називається

головним моментом M зовнішніх сил відносно точки O :

Головний момент (результуючий момент) відносно нерухомої осі OZ системи сил дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх сил системи відносно цієї осі:

Моментом імпульсу Li матеріальної точки відносно нерухомої точки O

називається векторний добуток радіус-вектора ri матеріальної точки, який проведений з

точки O , на імпульс цієї матеріальної точки mi i (рис.19):

31

Векторна сума моментів імпульсу Li всіх матеріальних точок тіла називається

моментом L імпульсу тіла відносно точки O :

Моментом імпульсу тіла відносно нерухомої осі називається скалярна величина

Lz , яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу тіла відносно довільної точки О на осі OZ.

Значення моменту імпульсу Lz не залежить від положення точки О на осі OZ.

Знайдемо вираз для моменту Lz імпульсу тіла відносно осі обертання. Проекція результуючого вектора на деяку вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на цю вісь усіх складових векторів:

32

Фізичні основи механіки

радіус-вектора ri , причому Ri ri cos i .

В результаті момент імпульсу тіла відносно осі OZ

Швидкість і-ої точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю z , дорівнює:

i z Ri .

n

Отже, Lz z mi Ri2 .

i 1

Сума добутків мас усіх матеріальних точок тіла на квадрати їх відстаней до осі OZ

називається моментом інерції тіла відносно цієї осі:

n

Jz mi Ri2 .

i1

Отже, Lz J z z .

Момент імпульсу тіла відносно осі дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно тієї самої осі на кутову швидкість обертання навколо цієї осі.

Ми ввели поняття моменту інерції, розглядаючи обертання твердого тіла. Однак момент інерції існує безвідносно до обертання. Всяке тіло, незалежно від того, чи обертається воно, чи знаходиться в стані спокою, має момент інерції відносно довільної осі.

Щоб обчислити момент інерції тіла, його поділяють на нескінченно велику

форми і розмірів тіла, а також від розміщення тіла відносно осі.

довільної осі можна розрахувати, використавши теорему Штейнера: момент інерції J a тіла

відносно довільної осі a дорівнює сумі моменту інерції Jc тіла відносно

Рис. 21

Фізичні основи механіки

§11. Рівняння динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі. Кінетична енергія

тіла, що обертається

Розглянемо обертання абсолютно твердого тіла, яке закріплене в одній нерухомій точці О.

Щоб отримати співвідношення між моментом імпульсу і моментом сили,

продиференціюємо за часом правий і лівий бік виразу

відносно точки О.

Швидкість зміни моменту імпульсу тіла, що обертається навколо нерухомої точки, дорівнює головному моменту відносно цієї точки всіх зовнішніх сил, які прикладені

до тіла.

dL

Спроектуємо вектори рівняння M на довільну вісь Z, що проходить через точку dt

О. Тоді

dLdtz M z ,

де Lz і M z - проекції на вісь ОZ обертання тіла векторів моменту імпульсу тіла і результуючого моменту зовнішніх сил відносно точки О. Це рівняння динаміки тіла, що обертається навколо нерухомої осі OZ .

Отже, швидкість зміни моменту імпульсу тіла відносно нерухомої осі обертання дорівнює головному моменту всіх зовнішніх сил, що діють на тіло, відносно цієї осі.

Враховуючи, що Lz J z z , отримуємо

34

Фізичні основи механіки

d J z z M z . dt

Якщо тіло абсолютно тверде, то його момент інерції J z не залежить від часу. Тому

кутове прискорення твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі OZ, прямо пропорційне до головного моменту відносно цієї осі всіх зовнішніх сил, що діють на тіло, і обернено пропорційне до моменту інерції тіла відносно тієї самої осі.

швидкість твердого тіла стала.

Кінетична енергія тіла, що рухається довільно, дорівнює сумі кінетичних енергій всіх n

матеріальних точок, на які це тіло можна умовно поділити:

Якщо тверде тіло рухається поступально з швидкістю і одночасно обертається з кутовою швидкістю навколо осі, що проходить через його центр інерції, то його кінетична енергія

35

Фізичні основи механіки

Елементарна робота, яка виконується зовнішньою силою при обертанні тіла,

n

dA dAi M z d . i 1

§12. Закон збереження моменту імпульсу

Закон збереження моменту імпульсу випливає із закону зміни моменту імпульсу тіла, закріпленого в нерухомій точці, і полягає в такому:

якщо головний момент зовнішніх сил відносно нерухомої точки, прикладених до тіла, тотожно дорівнює нулю, то момент імпульсу тіла відносно цієї точки з плином часу не змінюється.

Цей закон справедливий і для системи тіл. На замкнену систему тіл зовнішні сили

взагалі не діють. Тому результуючий момент цих сил відносно будь-якої нерухомої точки тотожно дорівнює нулю. Отже, момент імпульсу замкненої системи тіл відносно будь-якої нерухомої точки сталий у часі.

З рівняння динаміки тіла, що обертається навколо нерухомої осі OZ, випливає закон

збереження моменту імпульсу тіла відносно цієї осі:

якщо момент зовнішніх сил відносно нерухомої осі обертання тіла тотожно дорівнює нулю, то момент імпульсу тіла відносно цієї осі не змінюється під час руху:

M z 0 і dLdtz 0 , Lz const ,

або

J z z const ,

де z – кутова швидкість тіла, J z – його момент інерції відносно осі обертання.

Отримане співвідношення наочно ілюструється за допомогою лави Жуковського – круглої платформи, яка може обертатися з малим тертям відносно вертикальної осі (рис. 22). Якщо гантелі наближаються до осі обертання, то момент інерції системи зменшується, а кутова швидкість збільшується; при віддаленні гантелей від осі обертання кутова швидкість обертання зменшується

(І2>І1; ω2<ω1).

Закон збереження моменту імпульсу – фундаментальний закон природи. Він зв’язаний з певними властивостями симетрії простору – його ізотропністю, тобто з інваріантністю фізичних законів

відносно вибору напрямку осей координат системи відліку.

36

Фізичні основи механіки

§13. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань

Коливанням називається всякий рух або зміна стану тіла, що характеризується тим чи іншим ступенем повторюваності в часі значень фізичних величин, які визначають

цей рух або стан тіла.

Коливання називаються періодичними, якщо значення фізичних величин, які змінюються в процесі коливань, повторюються через однакові проміжки часу. Найпростішим типом періодичних коливань є так звані гармонічні коливання – коливання, при яких

значення фізичної величини змінюється з часом за законом косинуса (синуса).

Коливання називаються вільними або власними, якщо вони здійснюються за рахунок енергії, яка була надана, за відсутності в наступному зовнішніх періодичних впливів на

коливну систему.

Нехай матеріальна точка здійснює вільні гармонічні коливання вздовж осі координат

Найменший проміжок часу Т, після проходження якого повторюються значення всіх фізичних величин, що характеризують коливання, називається періодом коливання. За час Т здійснюється одне повне коливання і фаза коливань отримує приріст 2 , тобто

0 t T 0 0t 0 2 .

Звідси

T 2 .0

Частотою коливань називається кількість повних коливань, що здійснюються за

одиницю часу:

Nt ,

де N – кількість коливань, виконаних за час t. Частота коливань – величина, яка обернена до періоду коливань:

T1 .

Циклічна частота

0 2 2 .

T

37

Фізичні основи механіки

Отже, циклічна частота дорівнює кількості повних коливань, що здійснюється за 2 с.

Коливальний процес характеризується швидкістю і прискоренням коливної точки:

швидкість і прискорення точки, що гармонічно коливається, є періодичними функціями часу

A

A 0

t

A 0

t

A 02

Рис. 23

В моменти часу, коли x 0 , швидкість набуває найбільшого значення, коли ж x

досягає максимального від’ємного значення, то прискорення a набуває найбільше додатне значення.

Прискорення завжди напрямлене до положення рівноваги: віддаляючись від положення рівноваги, коливна точка рухається сповільнено, наближаючись до нього – прискорено. Прискорення прямо пропорційне до зміщення, а його напрямок протилежний до напрямку зміщення.

Другий закон Ньютона дає змогу в загальному вигляді записати зв’язок між силою і прискоренням для вільних гармонічних коливань матеріальної точки з масою m :

Fx m ax m A 02 cos 0t 0

m 02 x k x .

Сила, що діє на коливну матеріальну точку прямо пропорційна до зміщення і завжди

38