Афінні перетворення методичні вказівки

до виконання лабораторної роботи №6

з дисципліни „Комп’ютерна графіка”

для студентів спеціальності

6. 050103 „Програмна інженерія”

Затверджено на засіданні кафедри програмного забезпечення Протокол № __ від _______ р.

Львів – 2013

Фрактали. : Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи №6 із дисципліни „Комп’ютерна графіка” для студентів спеціальності „Програмна інженерія” / Укл.: Є.В. Левус, О.О. Нитребич – Львів: Видавництво Національного університету „Львівська політехніка”, 2013. – ?? с.

Укладачі Є.В. Левус, доцент кафедри ПЗ

О.О. Нитребич, асист. кафедри ПЗ

Відповідальний за випуск Федасюк Д.В., д-р тех. наук, проф.

Рецензенти , канд. тех. наук, доц.

, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Мета роботи: Ознайомитись на практиці із основними поняттями афінних перетворень, навчитись застосовувати основні перетворення – зсув, масштаб та поворот об’єктів у декартовій системі координат.

Теоретичні відомості

Виконання різноманітних дій з геометричними об’єктами є центральною задачею в комп’ютерній графіці. Тому вибір математичних методів і алгоритмів для її реалізації суттєво впливає на ефективність цілої графічної системи. У сучасній комп’ютерній графіці досить широко використовується метод координат, оскільки графічне зображення складається з пікселів, які задаються координатами. Крім цього, координати використовуються для опису розміщення об’єктів та для створення зображень шляхом перетворень з однієї системи координат в іншу.

1. Найпростіші двовимірні афінні перетворення

Афінним називається перетворення, що має такі властивостями:

● будь-яке афінне перетворення може бути представлене як послідовність операцій з числа найпростіших: зсув, розтягнення/стиснення, поворот;

● зберігаються прямі лінії, паралельність прямих, відношення довжин відрізків, що лежать на одній прямій, і відношення площ фігур.

Афінні перетворення координат на площині:

(X, Y) – двовимірна система координат,

(x, y) – координати старої системи в новій системі координат.

.

Загальний вигляд афінного перетворення:

,

де A, B, C, D, E, F – константи.

Обернене перетворення теж є афінним:

Найпростіші афінні перетворення об’єкта на площині.

1. Здвиг об’єкта:

або матрицею: .

Рис. 1 Зсув об’єкта

Обернене перетворення задається формулами :

або відповідною матрицею:

.

Примітка! У літературі часто використовують іншу матрицю зсуву координат об’єкта:

.

З використанням даної матриці, нові координати об’єкту утворюються внаслідок множення старих координат на дану матрицю [X,Y,1]=[x,y,1] M.

2. Масштабування об’єкту:

,

а в матричній формі:

.

Рис. 2 Масштабування об’єкта

Обернене перетворення задане:

,

та відповідно матрицею

.

Коефіцієнти можуть бути від’ємними. Наприклад, при k_x = -1 отримуємо дзеркальне відображення відносно осі Y.

Також варто зауважити, що у вище згаданих формулах йдеться про пропорційне зміщення всіх сторін об’єкту.

Якщо взяти загальну матричну перетворення , то при=, а==0 виконується пропорційне масштабування, при, а==0 – непропорційне.

Примітка! У даних формулах йде мова про масштабування об’єкту та його переміщення. Якщо потрібно зробити чисте масштабування без ефекту переміщення, тоді варто об’єкт помістити в центр координат.

3. Поворот об’єкта відносно центру координат на кут α відповідає системі рівнянь:

або задається матрицею

.

Рис. 3 Поворот об’єкта

Обернене перетворення – поворот на кут (-α) задане системою рівнянь:

та відповідною матрицею

.

Увага! У всіх афінних перетвореннях, описаних вище, використовуються однорідні координати – це координати неоднорідного вектора [x,y], що є трійкою , дедеяке дійсне число. Зазвичай використовують вектор. При бажанні можна користуватись звичайними координатами, але формули матимуть наступний матричний вигляд:

зсув - ,

масштаб: ,

поворот: ,

де K – матриця координат об’єкту до перетворення, – після перетворення.