- •Комбінаторний аналіз методичні вказівки
- •6. 050103 „Програмна інженерія”
- •Комбінаторний аналіз
- •1. Вступ
- •2. Основні правила комбінаторного аналізу. Поняття вибірки
- •3. Алгоритми перебору та лексикографічний порядок
- •4. Алгоритми перебору розміщень
- •5. Алгоритми перебору перестановок
- •6. Алгоритми перебору сполучень
- •7. Обчислення кількості розміщень і сполучень
- •8. Перестановки з повтореннями
- •9. Генерування розбиття множини
- •10. Біном Ньютона
- •3. Винесення за дужки.
- •4. Заміна індексів.
- •11. Задача про цілочислові розв'язки
- •12. Принцип коробок Діріхле
- •13. Приклади виконання практичних завдань
- •14. Завдання до виконання
- •Контрольні запитання.
- •Список літератури
- •Комбінаторний аналіз методичні вказівки
- •6. 050103 “Програмна інженерія”
10. Біном Ньютона
Означення 10.1. Біном Ньютона – це формула для розкладу на окремі складові цілого невід’ємного ступеня суми двох змінних, що має вигляд:
Через цю властивість числа також називаютьбіноміальними коефіцієнтами.
Розглянемо деякі властивості та тотожності біноміальних коефіцієнтів.
1. Правило симетрії. Нехай n і r – невід’ємні числа, . Тоді.
2. Рівність Паскаля :
Рівність Паскаля дає змогу побудувати трикутник Паскаля для коефіцієнтів.
n=0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
| ||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
| |||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
| |||||||||||||||||
n=3 |
|
|
1 |
3 |
3 |
1 |
|
|
| |||||||||||||||
n=4 |
|
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
|
| ||||||||||||||||
n=5 |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
|
Приклад 10.1. Знайдемо розклад виразу (х +у)4. Скориставшись біноміальною теоремою, можемо записати:
= .
Біноміальні коефіцієнти з трикутника Паскаля співпадають з отриманим виразом. ▲
3. Винесення за дужки.
4. Заміна індексів.
5. Згортка Вандермонда. Нехай т, n, r — невід'ємні цілі числа, причому r min{m, n}. Тоді.
6. Унімодальність. За фіксованого n послідовність біноміальних коефіцієнтів (C),k=0,1,2…,n унімодальна, т = . У разі парного n максимум досягається в точці т = =, а в разі непарного — у двох точках: т = =й m+1= .
За допомогою біноміальної теореми можна виводити цікаві властивості біноміальних коефіцієнтів.
Приклад 10.2. Довести ,
Скористаємось формулою бінома Ньютона, підставивши x=1, y=1.
Скористаємось формулою бінома Ньютона, підставивши x=1, y=-1.
▲
Означення 10.2. Поліноміальна формула - це формула для розкладу на окремі складові цілого невід’ємного ступеня суми кількох змінних, що має вигляд суми всіх можливих доданків де тобто
.
Поліноміальна формула є узагальненням Біному Ньютона, в чому можна переконатись, підставивши k=2 в поліноміальну формулу.
11. Задача про цілочислові розв'язки
Цю задачу формулюють так: знайти кількість розв'язків рівняння у цілих невід'ємних числах, деп — ціле невід'ємне число.
Узявши такі невід'ємні цілі числа що можна одержати сполучення з повтореннями з r елементів по п, а саме: елементів першого типу — х1 одиниць, другого — х2, ..., r-го — хr. Навпаки, якщо є сполучення з повтореннями з r елементів по п, то кількість елементів кожного типу задовольняють вимоги рівняння у цілих невід'ємних числах. Отже, кількість цілих невід'ємних розв'язків цього рівняння дорівнює:
Приклад 11.1. Знайдемо кількість невід'ємних цілих розв'язків рівняння х1+х2+х3=10. Безпосереднє використання попередньої формули дає
▲
Кількість розв'язків рівняння x1+х2+...+хr = п у цілих невід'ємних числах можна визначити й тоді, коли на змінні накладено певні обмеження.
Приклад 11.2. Знайдемо кількість невід'ємних цілих розв'язків рівняння
де
Зробимо заміну змінних:
Отримаємо рівняння:
отже, кількість цілочисельних розв’язків:
▲
Приклад 11.3. Визначимо кількість розв'язків нерівності в невід'ємних цілих числах. Уведемо допоміжну змінну х4, яка може набувати цілих невід'ємних значень, і перейдемо до еквівалентної задачі: визначити кількість розв'язків рівняння х1+х2+х3+х4 = 10 в невід'ємних цілих числах. Отже, ▲