- •Комбінаторний аналіз методичні вказівки
- •6. 050103 „Програмна інженерія”
- •Комбінаторний аналіз
- •1. Вступ
- •2. Основні правила комбінаторного аналізу. Поняття вибірки
- •3. Алгоритми перебору та лексикографічний порядок
- •4. Алгоритми перебору розміщень
- •5. Алгоритми перебору перестановок
- •6. Алгоритми перебору сполучень
- •7. Обчислення кількості розміщень і сполучень
- •8. Перестановки з повтореннями
- •9. Генерування розбиття множини
- •10. Біном Ньютона
- •3. Винесення за дужки.
- •4. Заміна індексів.
- •11. Задача про цілочислові розв'язки
- •12. Принцип коробок Діріхле
- •13. Приклади виконання практичних завдань
- •14. Завдання до виконання
- •Контрольні запитання.
- •Список літератури
- •Комбінаторний аналіз методичні вказівки
- •6. 050103 “Програмна інженерія”
7. Обчислення кількості розміщень і сполучень
Нехай r і n — будь-які невід'ємні цілі числа. Кількість усіх розміщень без повторень з n елементів по r позначають як абоA(n, r). Кількість різних розміщень із повтореннями з n елементів по r позначають як або(n,r). Кількість усіх сполучень без повторень з n елементів по r позначають як ,С(n, r) або (). Кількість усіх сполучень із повтореннями зn елементів по r позначимо як абоН(n, r). Очевидно, що для вибірок без повторень повинна виконуватись рівність r n, а для вибірок з повтореннями ця рівність не є обов’язковою.
ТЕОРЕМА 7.1. Кількість усіх розміщень без повторень з n елементів по r рівна .
Доведення. Розглянемо алгоритм отримання вибірки. Нехай задано скінченну непорожню множину А = {а1, а2,… аn} і виконано r таких кроків.
Крок 1. Із множини А вибирають якийсь елемент . Цей елемент можна отриматиn способами, бо у множині А є n елементів.
Крок 2. Із множини A чи з вибирають якийсь елемент. Цей елемент можна отриматиn-1 способами, бо у множині є n-1 елемент.
Крок r. Якщо— елементи, які вибрані на першихr - 1 кроках (r >= 3), то на цьому кроці вибирають якийсь елемент із множиниА чи . Цей елемент можна отримати n-r+1 способом.
Елементи утворюють вибірку обсягом r, або r-вибірку із множини А. Використавши правило добутку, отримаємо, що кількість способів отримання такої вибірки є n(n-1)(n-2)…(n-r+1). ▲
ТЕОРЕМА 7.2. Кількість різних розміщень із повтореннями з n елементів по r рівна .
Доведення. Рівність доводиться аналогічним способом, як у попередній теоремі. Легко побачити, що в розміщенні з повтореннями для кожного елемента bi, і=1,2,…,r є n незалежних можливостей вибору, тому згідно правила добутку .▲
ТЕОРЕМА 7.3. Кількість усіх сполучень без повторень з n елементів по r рівна .
Доведення. Розглянемо всі розміщення без повторень з n елементів по r (b1,b2,…br) і всі сполучення [b1,b2,…br] без повторень з n елементів по r. Виявимо, у скільки разів більше сполучень ніж розміщень. Для цього визначимо, скільки можна отримати розміщень із одного сполучення [b1,b2,…br] шляхом різних перестановок елементів. Легко побачити, що впорядкувати r елементів можна способами, бо перший елемент можна вибратиr способами, другий r-1 способом і т.д. Очевидно, що із двох різних сполучень без повторень не можна одержати однакових розміщень без повторень. Отже, всіх розміщень з n елементів по r у разів більше, ніж сполучень з n елементів по r
▲
ТЕОРЕМА 7.4. Кількість усіх сполучень із повтореннями з n елементів по r рівна .
Доведення. Розглянемо множину А ={1,2,…,n} з n елементів. Кожну невпорядковану r-вибірку з множини А можна записати у вигляді [m1,m2,…,mr], де , оскільки порядок елементів не суттєвий. Тоді [m1+0, m2+1,…, mr+r-1] — сполучення без повторень з n + r - 1 елементів по r.
Легко переконатись, що кожному сполученню [m1+0 , m2+1,…, mr+r-1] без повторень з n+r-1 елементів по r відповідає, до того ж тільки одне, сполучення [m1,m2,…,mr] із повторенням з n елементів по r.
Отже, кількість сполучень із повторенням з n елементів по r рівна кількості сполучень без повторень з n+r-1 елементів по r. .Рівність доведено. ▲
Значення вищеописаних кількостей у вибірках зручно представити таблицею.
Таблиця 3.1. Кількість елементів у вибірці
|
Без повторень |
З повтореннями |
Розміщення | ||
Сполучення |