
- •Комбінаторний аналіз методичні вказівки
- •6. 050103 „Програмна інженерія”
- •Комбінаторний аналіз
- •1. Вступ
- •2. Основні правила комбінаторного аналізу. Поняття вибірки
- •3. Алгоритми перебору та лексикографічний порядок
- •4. Алгоритми перебору розміщень
- •5. Алгоритми перебору перестановок
- •6. Алгоритми перебору сполучень
- •7. Обчислення кількості розміщень і сполучень
- •8. Перестановки з повтореннями
- •9. Генерування розбиття множини
- •10. Біном Ньютона
- •3. Винесення за дужки.
- •4. Заміна індексів.
- •11. Задача про цілочислові розв'язки
- •12. Принцип коробок Діріхле
- •13. Приклади виконання практичних завдань
- •14. Завдання до виконання
- •Контрольні запитання.
- •Список літератури
- •Комбінаторний аналіз методичні вказівки
- •6. 050103 “Програмна інженерія”
10. Біном Ньютона
Означення 10.1. Біном Ньютона – це формула для розкладу на окремі складові цілого невід’ємного ступеня суми двох змінних, що має вигляд:
Через
цю властивість числа
також називаютьбіноміальними
коефіцієнтами.
Розглянемо деякі властивості та тотожності біноміальних коефіцієнтів.
1.
Правило симетрії.
Нехай n
і
r –
невід’ємні числа,
.
Тоді
.
2.
Рівність Паскаля
:
Рівність
Паскаля дає змогу побудувати трикутник
Паскаля
для коефіцієнтів.
n=0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
| ||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
| |||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
| |||||||||||||||||
n=3 |
|
|
1 |
3 |
3 |
1 |
|
|
| |||||||||||||||
n=4 |
|
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
|
| ||||||||||||||||
n=5 |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
|
Приклад 10.1. Знайдемо розклад виразу (х +у)4. Скориставшись біноміальною теоремою, можемо записати:
=
.
Біноміальні коефіцієнти з трикутника Паскаля співпадають з отриманим виразом. ▲
3. Винесення за дужки.
4. Заміна індексів.
5.
Згортка Вандермонда.
Нехай т,
n, r — невід'ємні
цілі числа, причому r
min{m,
n}.
Тоді
.
6.
Унімодальність. За
фіксованого n
послідовність
біноміальних коефіцієнтів (C),k=0,1,2…,n
унімодальна,
т
=
.
У разі парного n
максимум
досягається в точці
т =
=
,
а в разі непарного — у двох точках: т
=
=
й
m+1=
.
За допомогою біноміальної теореми можна виводити цікаві властивості біноміальних коефіцієнтів.
Приклад
10.2.
Довести
,
Скористаємось формулою бінома Ньютона, підставивши x=1, y=1.
Скористаємось формулою бінома Ньютона, підставивши x=1, y=-1.
▲
Означення
10.2.
Поліноміальна
формула
- це
формула
для розкладу на окремі складові цілого
невід’ємного ступеня суми кількох
змінних, що має вигляд
суми всіх можливих
доданків
де
тобто
.
Поліноміальна формула є узагальненням Біному Ньютона, в чому можна переконатись, підставивши k=2 в поліноміальну формулу.
11. Задача про цілочислові розв'язки
Цю
задачу формулюють так: знайти кількість
розв'язків рівняння
у цілих невід'ємних числах, деп
— ціле
невід'ємне число.
Узявши
такі невід'ємні цілі числа
що
можна
одержати сполучення з повтореннями з
r
елементів
по п,
а
саме: елементів першого типу — х1
одиниць,
другого — х2,
..., r-го
— хr.
Навпаки,
якщо є сполучення з повтореннями з r
елементів
по п,
то
кількість елементів кожного типу
задовольняють вимоги рівняння
у
цілих невід'ємних числах. Отже, кількість
цілих невід'ємних розв'язків цього
рівняння дорівнює:
Приклад 11.1. Знайдемо кількість невід'ємних цілих розв'язків рівняння х1+х2+х3=10. Безпосереднє використання попередньої формули дає
▲
Кількість розв'язків рівняння x1+х2+...+хr = п у цілих невід'ємних числах можна визначити й тоді, коли на змінні накладено певні обмеження.
Приклад 11.2. Знайдемо кількість невід'ємних цілих розв'язків рівняння
де
Зробимо заміну змінних:
Отримаємо рівняння:
отже, кількість цілочисельних розв’язків:
▲
Приклад
11.3.
Визначимо
кількість розв'язків нерівності
в невід'ємних цілих
числах. Уведемо допоміжну змінну х4,
яка може набувати цілих невід'ємних
значень, і
перейдемо до еквівалентної задачі:
визначити кількість розв'язків рівняння
х1+х2+х3+х4
=
10 в невід'ємних цілих числах. Отже,
▲