
- •Комбінаторний аналіз методичні вказівки
- •6. 050103 „Програмна інженерія”
- •Комбінаторний аналіз
- •1. Вступ
- •2. Основні правила комбінаторного аналізу. Поняття вибірки
- •3. Алгоритми перебору та лексикографічний порядок
- •4. Алгоритми перебору розміщень
- •5. Алгоритми перебору перестановок
- •6. Алгоритми перебору сполучень
- •7. Обчислення кількості розміщень і сполучень
- •8. Перестановки з повтореннями
- •9. Генерування розбиття множини
- •10. Біном Ньютона
- •3. Винесення за дужки.
- •4. Заміна індексів.
- •11. Задача про цілочислові розв'язки
- •12. Принцип коробок Діріхле
- •13. Приклади виконання практичних завдань
- •14. Завдання до виконання
- •Контрольні запитання.
- •Список літератури
- •Комбінаторний аналіз методичні вказівки
- •6. 050103 “Програмна інженерія”
7. Обчислення кількості розміщень і сполучень
Нехай
r
і n
— будь-які невід'ємні цілі числа.
Кількість усіх розміщень без повторень
з n
елементів по r
позначають як
абоA(n,
r).
Кількість різних розміщень із повтореннями
з n
елементів
по r
позначають як
або
(n,r).
Кількість
усіх сполучень без повторень з n
елементів по r
позначають як
,С(n,
r)
або (
).
Кількість усіх сполучень із повтореннями
зn
елементів по r
позначимо як
абоН(n,
r).
Очевидно, що для вибірок без повторень
повинна виконуватись рівність r
n,
а для вибірок з повтореннями ця рівність
не є обов’язковою.
ТЕОРЕМА
7.1.
Кількість
усіх розміщень без повторень з n
елементів по r
рівна
.
Доведення. Розглянемо алгоритм отримання вибірки. Нехай задано скінченну непорожню множину А = {а1, а2,… аn} і виконано r таких кроків.
Крок
1.
Із множини А
вибирають
якийсь елемент
.
Цей елемент можна отриматиn
способами, бо у множині А
є
n
елементів.
Крок
2.
Із
множини A
чи з
вибирають
якийсь елемент
.
Цей елемент можна отриматиn-1
способами, бо у множині
є
n-1
елемент.
Крок
r.
Якщо—
елементи, які вибрані на першихr
- 1
кроках (r
>= 3), то на цьому кроці вибирають якийсь
елемент
із множиниА
чи
.
Цей елемент можна отримати n-r+1
способом.
Елементи
утворюють
вибірку
обсягом r, або
r-вибірку із
множини А.
Використавши
правило добутку, отримаємо,
що кількість способів отримання такої
вибірки є n(n-1)(n-2)…(n-r+1).
▲
ТЕОРЕМА
7.2.
Кількість
різних розміщень із повтореннями з n
елементів
по r
рівна
.
Доведення.
Рівність
доводиться
аналогічним способом, як у попередній
теоремі. Легко побачити,
що в розміщенні з повтореннями
для
кожного елемента bi,
і=1,2,…,r
є n
незалежних можливостей вибору, тому
згідно правила добутку
.▲
ТЕОРЕМА
7.3.
Кількість
усіх сполучень без повторень з n
елементів по r
рівна
.
Доведення.
Розглянемо всі розміщення без повторень
з n
елементів по r
(b1,b2,…br)
і всі сполучення [b1,b2,…br]
без повторень з n
елементів по r.
Виявимо, у скільки разів більше сполучень
ніж розміщень. Для цього визначимо,
скільки можна отримати розміщень із
одного сполучення [b1,b2,…br]
шляхом різних перестановок елементів.
Легко побачити, що впорядкувати r
елементів можна
способами, бо перший елемент можна
вибратиr
способами, другий r-1
способом і т.д. Очевидно,
що із двох різних сполучень без повторень
не можна одержати однакових розміщень
без повторень. Отже, всіх
розміщень з n
елементів по r
у
разів більше, ніж сполучень
з
n
елементів по r
▲
ТЕОРЕМА
7.4.
Кількість
усіх сполучень із повтореннями з n
елементів по r
рівна
.
Доведення.
Розглянемо
множину А
={1,2,…,n}
з n
елементів. Кожну невпорядковану r-вибірку
з множини А
можна
записати у вигляді [m1,m2,…,mr],
де
,
оскільки порядок елементів не суттєвий.
Тоді [m1+0,
m2+1,…,
mr+r-1]
— сполучення без повторень з n
+ r - 1 елементів
по r.
Легко переконатись, що кожному сполученню [m1+0 , m2+1,…, mr+r-1] без повторень з n+r-1 елементів по r відповідає, до того ж тільки одне, сполучення [m1,m2,…,mr] із повторенням з n елементів по r.
Отже,
кількість сполучень
із
повторенням з n
елементів по r
рівна кількості сполучень без повторень
з n+r-1
елементів по r.
.Рівність
доведено.
▲
Значення вищеописаних кількостей у вибірках зручно представити таблицею.
Таблиця 3.1. Кількість елементів у вибірці
|
Без повторень |
З повтореннями |
Розміщення |
|
|
Сполучення |
|
|