- •Відношення, їх властивості та операції над ними методичні вказівки
- •6.050103 “Програмна інженерія”
- •Відношення, їх властивості та операції над ними
- •Поняття відношення. Задання відношень
- •3. Властивості бінарних відношень
- •4. Операції над відношеннями
- •5. Відношення еквівалентності
- •6. Відношення часткового порядку
- •7. Приклади виконання практичних завдань
- •8. Завдання до виконання
- •Контрольні запитання.
- •Список літератури
- •Відношення, їх властивості та операції над ними методичні вказівки
- •6.050103 “Програмна інженерія”
3. Властивості бінарних відношень
Означення 3.1. Відношення на множині А називають рефлексивним, якщо для будь-якого аА виконується (а,a) R.
Означення 3.2. Відношення на множині А називають іррефлексивним, якщо для будь-якого аА виконується (а,a).
Означення 3.3. Відношення R на множині А називають симетричним, якщо для будь-яких а,bА виконується умова: з того, що (а, b) випливає, що (b, а)R.
Означення 3.4. Відношення на множині А називають антисиметричним, якщо для всіх а,bА виконується умова: з того, що (а, b) R та (b, а) випливає, що a=b. Іншими словами, відношення антисиметричне, якщо в разі аbвоно не містить пар (а, b) та (b, а) одночасно.
Означення 3.5. Відношення на множині А називають асиметричним, якщо для всіх а,bА виконується умова: з того, що (а, b)R випливає, що (b, а).
Означення 3.6. Відношення на множині А називають транзитивним, якщо для будь-яких а,b,сА із того, що (а, b)R(b, с) випливає (а, с).
Матриця рефлексивного відношення характеризується тим, що всі елементи її головної діагоналі – одиниці, а матриця іррефлексивного відношення – тим, що зазначені елементи є нулями. Зауважимо, що симетричність відношення спричиняє також симетричність матриці. Матриця антисиметричного відношення характеризується тим, що нема жодної пари одиниць на місцях, симетричних відносно головної діагоналі. Матриця асиметричного має таку ж властивість, до того ж всі елементи її головної діагоналі – нулі. Матриця транзитивного відношення характеризується тим, що коли і тоді .
Важливо зазначити, що властивості симетричності й антисиметричності не є антагоністичними: існують відношення, які одночасно мають ці властивості. Наприклад, відношення =на множиніА={а} одночасно й симетричне, і антисиметричне. Є також відношення, які не мають жодної із цих двох властивостей.
Приклад 3.1. Розглянемо шість відношень на множині A={1, 2, 3, 4}:
= {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)};
= {(1,1), (1,2), (2,1)};
= {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)};
= {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)};
= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)};
= {(3,4)}.
Знайти властивості цих відношень.
Відношення та – рефлексивні, оскільки вони містять усі пари вигляду (а,а), тобто (1,1), (2,2), (3,3), (4,4). Решта відношень не є рефлексивними, зокрема, , ,,не містять пари (3,3).
Відношення та – іррефлексивні, оскільки вони містять усі пари вигляду (а,а), тобто (1,1), (2,2), (3,3), (4,4).
Зауважимо, що , є ні рефлексивними, ні іррефлексивними.
Лише відношення та симетричні, тому що містять тільки симетричні елементи.
Лише відношення , , є антисиметричними. У кожному із цих відношень немає таких пар елементів а та b (аb), що одночасно (а, b) та (b, а).
Є також відношення, які не є симетричними, ані антисиметричними. Прикладом такого відношення є .
Зрозуміло, що будь-яке асиметричне відношення повинно бути й антисиметричним. Обернене твердження неправильне. Відношення 5 є антисиметричним відношенням, яке не є асиметричним через те, що воно містить пару (1,1).
Відношення , , 6 із є транзитивними. Для кожного з них можна пересвідчитись, що якщо пари (а, b) та (b ,с) належать цим відношенням, то й пара (а, с) теж їм належить. Відношення , , не є транзитивними: (3,4), (4,1), але (3,1); (2,1), (1,2), але (2,2); (2,1), (1,4), але (2,4).