7. Приклади виконання практичних завдань

Приклад 1. Подати відношення, задані на множині А={1,2,3}, у матричному вигляді:

• ={(1,2), (2,3), (3,2), (3,3)};

• ={(1,2), (2,2), (2,3), (2,1), (3,1)};

• ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,3) }.

• D =.

Розв’язання:

Для кожного відношення будуємо матричне представлення таким чином: ставимо “1” у i-му рядку j-му стовбці, якщо пара (i,j) належить відношенню і “0” в протилежному випадку.

	1	2	3			1	2	3			1	2	3
1	0	1	1		1	0	1	0		1	1	1	1
2	0	0	1		2	1	1	1		2	0	1	0
3	0	1	1		3	1	0	0		3	0	0	1

Для того, щоби знайти відношення D, знайдемо спершу композицію .

	1	2	3
1	1	1	1
2	1	0	0
3	1	1	1

Тепер знайдемо комбінацію усіх відношень:

=

	1	2	3
1	1	1	1
2	1	0	0
3	1	1	1

Приклад 2. На множині А задано бінарні відношення:

=;=;= ;А= ;

=.

Визначити, які з цих відношень:

а) рефлексивні; б) іррефлексивні; в) транзитивні;

г) симетричні; д) асиметричні; е) антисиметричні;

є) відношення еквівалентності;

ж) відношення часткового порядку.

Розв’язання

а) і – рефлексивні, оскільки у матрицях цих відношень по головній діагоналі розташовані тільки одинички.

б) іррефлексивних відношень немає, оскільки в жодного з відношень немає на головній діагоналі лише нулів. не є ні рефлексивним, ні іррефлексивним.

в) антисиметричних відношень немає.

г) асиметричних відношень немає.

д) – симетричне відношення, бо його матричне представлення є симетричним.

е) – транзитивне, і – не транзитивні. Найлегше перевірити транзитивність, взявши композицію відношення самого на себе. Тоді результуюче відношення міститиме всі пари (a,c), де aRb i bRc. Тобто транзитивне відношення, піднесене до квадрату, має бути підмножиною самого себе:

,.

є) – відношення еквівалентності, бо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

ж) оскільки немає антисиметричних відношень, то і немає відношень часткового порядку.

Приклад 3. На множині А = {1,2,3} задано бінарні відношення:

, ,,.

Визначити, які з цих відношень:

а) рефлексивні; б) іррефлексивні; в) транзитивні;

г) симетричні; д) асиметричні; е) антисиметричні;

є) відношення еквівалентності;

ж) відношення часткового порядку.

Відповідь:

З цих відношень рефлексивні: ₂, ₃, ₄.

а) іррефлексивні: немає.

б) транзитивні: R_1,2, ₄,.

в) симетричні:₂, ₃, ₄.

г) асиметричні: немає.

д) антисиметричні:₁.

е) відношення еквівалентності:₂, ₄.

є) відношення часткового порядку: немає.

Зробимо більш детальні пояснення до транзитивності, оскільки її складніше обґрунтувати.

Бінарне відношення є транзитивним, якщо для будь-яких a, b, c з А виконується: коли а відноситься до b i b відноситься до с, то а відноситься до с.

Розглянемо це на прикладі бінарних відношень, поданих вище:

R₁={(1,3), (2,2)}.

Це відношення є транзитивним, бо єдині числа a,b і b,c що підходять під означення транзитивності, це a=b=c=2. Зауважимо, що якщо б таких чисел узагалі не існувало, то відношення також було б транзитивним.

R₂={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}.

Дане відношення – транзитивне, бо для будь-яких a, b, c з ₂ виконується: коли а відноситься до b i b відноситься до с, то а відноситься до с. Це очевидно, оскільки у R₃ входять усі можливі пари.

R₃={(1,1), (1,3), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}.

Для того, щоби переконатися чи воно транзитивне, переберемо усі пари. Випишемо усі пари (a,b) і (b,c) у таблиці, а у останній колонці таблиці відмітимо існування чи не існування відповідної пари (a,c).

(a,b)	(b,c)	(a,c)	(a,c)
(1,1)	(1,1)	(1,1)	T
-//-	(1,3)	(1,3)	T
(1,3)	(3,1)	(1,1)	T
-//-	(3,2)	(1,2)	F

Отже, ми бачимо, що транзитивність не виконується для a=1, b = 3 і c=2. Ми можемо перервати перебір елементів, так як ми вже знайшли такі пари, для яких це не виконується. Також ми можемо зробити висновок що елементи вигляду (v,v) не впливають на властивість транзитивності, тому їх можна не враховувати при переборі елементів.

Розглянемо R₄={(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,3)}

Для того щоби переконатися чи воно транзитивне, знову переберемо усі пари, не враховуючи діагональних елементів.

(a,b)	(b,c)	(a,c)	(a,c)
(1,3)	(3,1)	(1,1)	T
(3,1)	(1,3)	(3,3)	T

Відношення транзитивне, оскільки ми перебрали усі можливі пари, і для кожної з них виконується транзитивність.

Приклад 4. Нехай – відношення на множині дійсних чисел: аb тоді й лише тоді, коли (а-b) є цілим числом. Довести, що R – відношення еквівалентності.

Оскільки а-а=0 є цілим для всіх дійсних чисел а, то аа для всіх дійсних чисел а. Отже, відношення рефлексивне. Нехай тепер аb. Отже, а-b є цілим числом. Але тоді b-а також ціле. Звідси випливає, що bа, відношення симетричне. Якщо (аb)(bс), то а-b та b-с цілі. Але тоді а-с=(а-b)+(b-с) також ціле, тобто ас, і відношення транзитивне. Отже, відношення є відношенням еквівалентності.