2.3.Теоретичні відомості

Розглянемо які будуть стани в n - канальної СМО з обмеженою довжиною черги:

• S₀ - усі канали вільні,

• S₁- зайнятий один канал, інші вільні,

......................................................................

• S_k - зайнято k каналів ,інші вільні,

.....................................................................

• S_n - зайняті всі n каналів,

• S_n+1 - зайняті всі n каналів, одна заявка стоїть в черзі,

.....................................................................

• S_n+r - зайняті всі n каналів, r заявок стоять у черзі,

.....................................................................

• S_n+m - зайняті всі n каналів, m заявок стоять у черзі.

Побудуємо граф станів:

Рис. 2.1 - Граф станів багатоканальної СМО з обмеженням на довжину черги

Позначимо  = /. Застосовуючи правило Колмогорова можна отримати вирази для граничних ймовірностей станів:

, , ...... , (2.1)

, , ...... ,

Виразимо P₀ з умови ,що сума всіх ймовірностей дорівнює 1:

(2.2)

Таким чином всі імовірності станів знайдені.

Знайдемо деякі характеристики ефективності обслуговування. Заявка, що надійшла, отримує відмовлення , якщо зайняті всі n каналів і m місць у черзі:

P_від= (2.3)

Відносна пропускна здатність доповнює імовірність відмовлення до одиниці:

q = 1-P_від = 1- (2.4)

Абсолютна пропускна здатність системи буде дорівнюватиме:

a =_q =  (2.5)

Знайдемо середнє число зайнятих каналів. Кожен зайнятий канал обслуговує в середньому  заявок в одиницю часу, уся ж система обслуговує в середньому A заявок в одиницю часу. Ділячи одне на інше отримаємо:

z= = (2.6)

Середнє число заявок у черзі можна обчислити безпосередньо, як математичне очікування дискретної випадкової величини, множачи будь-яке можливе число заявок на імовірність того, що саме це число заявок буде в черзі і складаючи результати отримаємо:

r = (2.7)

Складаючи середнє число заявок у черзі r і середнє число зайнятих каналів Z , отримаємо середнє число заявок зв’язаних із системою:

k = z+r (2.8)

Тепер знайдемо середній час очікування заявки в черзі: t_оч. Зробимо ряд гіпотез про те, у якому стані застане систему знову поступивша заявка і скільки часу їй доведеться чекати обслуговування. Якщо заявка застане не всі канали зайнятими, їй узагалі не доведеться чекати.

Відповідні члени в математичному очікуванні відкинемо, як рівні нулю. Якщо заявка прийде в момент, коли зайняті всі n каналів, а черги ні, їй прийдеться чекати в середньому час, рівний 1/n , тому що потік звільнення n каналів має інтенсивність n. Якщо заявка застане всі n каналів зайнятими й одну заявку перед собою в черзі, їй прийдеться чекати в середньому час, рівний 2/n, по 1/n на кожну спереду стоячу заявку, і т.д. Якщо знову поступивша заявка застане в черзі уже m заявок, то вона взагалі не буде чекати, але і не буде обслуговуватися. Середній час чекання знайдемо множачи кожне з цих значень на відповідну імовірність:

t_оч = (2.9)

Не важко помітити, що цей вираз відрізняється від виразу для середньої довжини черги тільки множником 1/  = 1/, тобто

t_оч = (2.10)

Середній час перебування заявки в системі відрізняється від середнього часу чекання на середній час обслуговування, помножений на відносну пропускну здатність:

t_сист = M[T_оч] + M[] = t_оч +q/ (2.11)