1. Теоретико-методичні основи моделювання систем масового обслуговування
1.1 Опис загальних особливостей систем масового обслуговування
В повсякденному житті і у виробничій діяльності широко розповсюджені системи, призначені для багаторазового розв’язання однотипних задач. Процеси, які при цьому виникають, отримали назву процесів обслуговування, а системи – систем масового обслуговування (СМО). Основи теорії систем масового обслуговування було закладено у працях датського математика А. К. Ерланга і отримали подальший розвиток у працях багатьох вітчизняних та іноземних вчених.
Системи масового обслуговування – це такі системи, до яких у випадкові моменти часу надходять замовлення на обслуговування, при цьому замовлення, що надійшли, обслуговуються за допомогою наявних у розпорядженні системи каналів обслуговування.
Прикладами систем масового обслуговування є:
пости технічного обслуговування автомобілів;
пости ремонту автомобілів;
персональні комп'ютери, що обслуговують замовлення, що надходять, або вимоги на розв’язання тих або інших задач;
станції технічного обслуговування автомобілів;
аудиторські фірми;
відділи податкових інспекцій, що займаються прийманням і перевіркою поточної звітності підприємств;
перукарні;
світлофори;
підприємства харчування;
телефонні станції тощо.
Іноді системи обслуговування мають обмежені можливості щодо задовільнення попиту і це призводить до утворення черг. Задачі масового обслуговування розглядають питання утворення та функціонування черг, які виникають в повсякденному житті. Наприклад, черги літаків, що йдуть на посадку, клієнти в ательє побутового обслуговування тощо. Черги виникають внаслідок того, що потік вимог (клієнтів) на обслуговування є випадковим і ним не можна управляти. Якщо кількість пристроїв обслуговування досить велика, то черги виникають рідко, однак при цьому неминучі довготривалі простої обладнання. З іншого боку, якщо недостатня кількість пристроїв обслуговування, створюються черги і можливі великі втрати внаслідок очікування. В задачах масового обслуговування часто необхідно визначити, яка кількість пристроїв масового обслуговування необхідна, щоб мінімізувати сумарні втрати, що очікуються від несвоєчасного обслуговування та простою обладнання.
1.2 Характеристики основних елементів моделі системи масового обслуговування
До основних елементів моделі масового обслуговування відносять, в першу чергу, клієнта (замовлення на обслуговування) і сервіс (обслуговуючий пристрій, прилад, засіб обслуговування тощо).
Клієнти надходять до системи обслуговування з джерела клієнтів (джерела вимог). Іншими словами, джерело вимог – це генератор клієнтів. Основною характеристикою джерела вимог є його потужність, яка може бути скінчена і нескінчена. Джерело скінченої потужності обмежує кількість клієнтів, що надходять на обслуговування (наприклад, у комп’ютерному класі, що має N комп’ютерів, сумарна кількість потенційних замовлень на їх ремонт не перевищує N). Джерело нескінченої потужності завжди має клієнтів вдосталь (наприклад, дзвінки, що надходять до телефонної мережі).
Вхідній потік вимог визначає послідовність моментів надходження вимогна обслуговування і зазначає кількість таких вимог у кожному черговому надходженні. Для описання вхідного потоку потрібно задати закон розподілу ймовірностей, що управляє послідовністю моментів надходження вимог на обслуговування і зазначити кількість таких вимог у кожному черговому надходженні. Так, наприклад, вимоги у бібліотеці чи у службі таксі можуть надходити в середньому кожні 4 хвилини. При цьому в умовах бібліотеки щоразу надходить одинична вимога (клієнти приходять у бібліотеку по одному), а в умовах служби таксі можуть надходити як одиничні, так і групові вимоги (пасажири можуть їздити по одному або з компанією).
Характеристикою потоку вимог є інтенсивність надходження замовлень в систему (λ) – середня кількість замовлень, що надходять в систему за одиницю часу.
Потік вимог є регулярним, якщо замовлення надходять до системи одне за одним через рівні проміжки часу. Наприклад, потік вимог на конвеєр при розливі молока (з постійною швидкістю руху) є регулярним.
Потік вимог називається стаціонарним, якщо його ймовірнісні характеристики не залежать від часу. Зокрема, інтенсивність стаціонарного потоку є величина постійна . Наприклад, потік автомашин на світлофорі не є стаціонарним протягом доби, однак його можна вважати стаціонарним у години пік.
Потік вимог називається потоком без наслідків, якщо для будь-яких двох інтервалів часу, які не перетинаються, кількість замовлень, що надходять до системи в ці інтервали, не залежить від кількості замовлень, що надійшли в інші проміжки часу. Наприклад, потік пасажирів метро практично не має наслідків.
Потік замовлень називається ординарним, якщо події надходять по одному, а не групами. Наприклад, потік поїздів у метро є ординарним, а потік вагонів – не ординарним.
Потік замовлень називається найпростішім (або стаціонарним пуасонівським), якщо він одночасно стаціонарний, ординарний і не має наслідків.
Черга – ряд замовлень, що очікують на обслуговування. Розрізняють дві її характеристики – довжину (місткість) і дисципліну черги.
Довжина черги може бути скінчена і нескінчена. Так, наприклад, у комп’ютерному класі, що має N комп’ютерів, сумарна кількість потенційних замовлень на їх ремонт не перевищує N, отже, черга не може бути більша за:
(1.1)
Дисципліна черги визначає принцип, відповідно до якого обслуговуються замовлення в системі. Частіше усього використовуються дисципліни черги, обумовлені наступними правилами:
першим прийшов – перший обслуговуєшся;
прийшов останнім – обслуговуєшся першим;
випадковий добір за мовлень;
добір замовлень за критерієм пріоритетності;
обмеження часу очікування моменту настання обслуговування (має місце черга з обмеженим часом очікування обслуговування, що асоціюється з поняттям «припустима довжина черги»).
Механізм обслуговування визначається тривалістю процедур обслуговування (t) і кількістю вимог (µ), що обслужені за одиницю часу.
Механізм обслуговування може складатися з декількох приладів (каналів обслуговування). При цьому ці прилади можуть бути розташовані паралельно (наприклад працює декілька кас у супермаркеті), або послідовно (наприклад, послідовна обробка деталей у цеху на токарному та фрезерному станках).
Тип часу обслуговування може бути як детермінованим, так і випадковим. Так, наприклад, обслуговування клієнтів на підприємстві харчування вважається завершеним, коли клієнт (або група клієнтів) залишають відповідний заклад. Тривалість часу обслуговування (t) залежить від запитів клієнта (або групи клієнтів) і є випадковою величиною. Обробка
однотипних деталей, наприклад, на токарному станку деякого цеху, характеризується детермінованим часом обслуговування.
Вихідний потік вимог характеризується інтенсивністю μ – інтенсивність обслуговування, тобто число вимог, обслужених за одиницю часу, протягом якого прилад зайнятий обслуговуванням. Існує залежність між часом обслуговування та інтенсивністю обслуговування, яка виражається формулою:
(1.2)
При дослідженні СМО можуть розв’язуватися:
задачі аналізу СМО – визначення характеристик якості обслуговування залежно від параметрів і властивостей вхідного потоку вимог, параметрів і структури системи обслуговування і дисципліни обслуговування;
задачі параметричного синтезу – визначення параметрів системи обслуговування при заданій структурі залежно від параметрів і властивостей потоку вимог, дисципліни і якостей обслуговування;
задачі синтезу структури системи з оптимізацією її параметрів таким чином, щоб при заданих потоках, дисципліні і якості обслуговування вартість СМО була мінімальною або були мінімальними втрати замовлень при заданих потоках, дисципліні і вартості системи.