4.2.2. Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Аналіз максимізації корисності.

Визначте, яку кількість блага Х має спожити індивід, щоб повністю задовольнити свою потребу, якщо функція сукупної корисності індивіда від споживання цього блага має вигляд: TU_Х = 10 + 8х – x², де х – обсяг споживання даного блага, од.

Розв’язання

Повне задоволення потреби передбачає максимізацію сукупної корисності, що досягається у разі, коли гранична корисність дорівнює 0.

1. Знайдемо граничну корисність блага х:

MU_Х = (TU_Х)' = (10 + 8x – x²)';

MU_Х = 8 – 2x.

2. Знайдемо кількість блага Х, споживання якої забезпечує максимізацію сукупної корисності:

MU_Х = 8 – 2x = 0;

x = 4, од.

Відповідь. Корисність є максимальною при споживанні 4 од. блага.

Приклад 2. Аналіз граничної корисності.

Визначте граничну корисність кави і тістечок та ціни, за якими споживач їх купує, якщо гранична корисність грошей (λ) дорівнює 5, а функція сукупної корисності за умов рівноваги споживача має вигляд:

TU_xу = 3х + 5у,

де х і у – кількість спожитої кави і тістечок.

Розв’язання

1. Знайдемо граничні корисності кави і тістечок, як похідні від функції сукупної корисності:

MU_x = (TU_x)' = (3х)' = 3, ют.;

MU_у = (TU_у)' = (5у)' =5, ют.

2. Для обчислення цін скористаємося другим законом Госсена, згідно з яким в умовах рівноваги споживача:

звідси:

Відповідь. Гранична корисність кави 3 ютилі, тістечок 5 ютилів, ціна чашки кави 60 коп., тістечка – 1 грн.

Приклад 3. Визначення оптимального вибору споживача.

Сім’я, що поводиться раціонально, витрачає щотижня на ковбасу і батони для сніданків 40 грн. Ціна ковбаси 20 грн за 1 кг, батонів – 1 грн за 1 шт.

Визначте, скільки ковбаси і батонів купує на тиждень сім’я, якщо функції сукупної корисності цих товарів задані рівняннями:

TU_x = 100х – 100х² та TU_у = 20у – 1,5у²,

де х і у – відповідно кількість ковбаси, кг і батонів, шт.

Розв’язання

Правило оптимального вибору споживача за умов обмеженого бюджету передбачає рівність зважених за цінами граничних корисностей усіх куплених у межах заданого бюджету благ.

1. Знайдемо граничні корисності ковбаси (х) і батонів (у) як похідні від їхніх сукупних корисностей:

2. Складемо систему рівнянь, що визначають рівновагу даного споживача і розв’язавши її визначимо обсяг купівлі двох заданих умовою задачі товарів – ковбаси і хліба на тиждень:

3. Зробимо перевірку, чи вистачить наявного бюджету сім’ї на купівлю ковбаси і хліба у визначеному обсязі:

40 = 1,5 20 + 1 10 = 40.

Відповідь: За даного обмеженного бюджету сімя максимізує корисність, тобто її вибір є оптимальним, коли за тиждень споживається 1,5 кг ковбаси і 10 батонів.

Приклад 4. Використання правила часток для аналізу динаміки споживання двох благ.

Пенсіонер, що поводиться раціанально, щороку витрачає на хліб і молоко 200 грн. Ціна молока 2 грн за 1 л, хліба 1 грн за 1 кг.

Функція сукупної корисності від споживання цих товарів для пенсіонера має вигляд: TU_xу = х^1/4 у^1/2, де х і у – відповідно кількість спожитого молока, л і хліба, кг.

Визначте, як зміниться оптимальний вибір даного споживача, якщо збільшення пенсії дозволило йому витрачати на хліб і молоко 300 грн., ціна хліба не змінилася, а молоко подорожчало вдвічі.

Розв’язання

Задача розв’язується із використанням правила часток, згідно з яким, якщо функція сукупної корисності задана рівнянням: TU_xу = х^a у^b, оптимальний обсяг споживання кожного блага (х і у) за даного бюджетного обмеження і визначеного рівня цін знаходиться за формулами:

1. Знайдемо за наведеним правилом обсяги споживання хліба і молока за початковими бюджетом і цінами:

2. Знайдемо скільки хліба (у₁) і молока (х₁) купує пенсіонер після підвищення пенсії і за нового співвідношення цін на ці харчові продукти:

3. Обчислимо динаміку споживання хліба і молока пенсіонером як різницю між обсягами споживання після і до підвищення пенсії:

Δх = х₁ – х = 25 – 33,3 = –8,3, л молока;

Δу = у₁ – у = 200 – 133 = 67, кг хліба.

Висновок. Незважаючи на те, що бюджет споживача суттєво зріс, підвищення ціни на молоко призвело до скорочення його споживання на 8,3 л, тоді як споживання хліба зросло на 67 кг. Отже, споживач робить вибір на користь відносно дешевшого товару. У даному разі спостерігається єфект заміщення. Зважуючи на те, що хліб має нижчу споживчу цінність порівняно із молоком, така зміна структури споживання свідчить про погіршення економічного становища пенсіонера.