Властивості, проектування

1. Якщо прямі а і b паралельні, то їхні проекції паралельні або, в окремих випадках, являють собою одну пряму або дві точки.

2. Якщо точка С поділяє відрізок АВ у відношенні m : n (рис. 4), то при проектуванні точка поділяє відрізоку тому самому відношенні, тобто

Рис. 4

Теорема 3 (про три перпендикуляри). Якщо похила l перпен­дикулярна до деякої прямої р площини α, то її проекція також перпендикулярна до прямої р (рис. 5).

Рис. 55

Обернена теорема. Якщо проекція похилоїl перпендикулярна до прямої р, то ця похила також перпендикулярна до прямої р.

Нехай висота піраміди ABCD, опущена з вершини D, проходить через точку перетину висот Δ АВС (ортоцентр трикутника). Можна довести, що протилежні ребра такої піраміди попарно перпендикулярні і будь-яка інша її висота також проходить через ортоцентр протилежної грані (рис. 6).

Рис. 6

Кутом між прямою l і площиною α називається кут між прямою α і її проекцією на площину α (кут φ на рис. 5).

Можна довести, що коли всі бічні ребра піраміди ABCD нахилені до площини основи АВС під однаковими кутами, то висота DO проходить через центр O описаної біля Δ АВС кола.

Рис. 7

15.9. Многогранники. Площі поверхонь. Об’єм многогранників

Якщо у двох паралельних площинах α і β містяться рівні між собою п-кутники, відповідні сторони яких попарно паралельні, а відповідні вершини сполучено відрізками, то утворений у такий спосіб многогранник називається призмою (рис. 8).

Многокутники, що лежать у площинах α і β, називаються основами призми. Чотирикутники АВВ₁А₁, ВВ₁С₁С та інші називаються бічними гранями призми і являють собою паралелограми; відрізки AA₁, BB₁ та інші називаються бічними ребрами призми. Усі бічні ребра призми рівні між собою і паралельні. Висотою призми називається відстань між площинами α і β, тобто довжина перпендикуляра, опущеного з будь-якої точки площини α на площину β.

Рис. 8

Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра її перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра.

Об’єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту приз­ми або площі перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра:

Прямою називається призма, бічні ребра якої перпендикулярні до площини основи.

Правильною називається пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник.

Частинними випадками призми є прямокутний паралелепіпед — пряма призма, в основі якої лежить прямокутник, і куб — правильна призма, в основі якої лежить квадрат. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку довжин трьох ребер, що виходять з однієї вершини.

Нехай на площині α лежить опуклий многокутник А₁A₂A₃…А_n, а точка S не належить площини α. Сполучивши точку S із вершинами многокутника, дістанемо многогранник, що називається п-кутною пірамідою (рис. 9). Многокутник А₁A₂A₃...А_n називається основою піраміди. Висотою піраміди називається відрізок перпендикуляра, опущеного з вершини S на площину підстави.

Рис. 9

Правильною називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а висота проходить через центр кола, описаного навколо основи.

Об’єм довільної піраміди

де — площа основи,Н — висота.

Сфера називається описаною навколо многогранника, якщо вона проходить через усі його вершини. Сфера називається вписаною у многогранник, якщо вона дотикається до всіх його граней.

Теорема 1. Для того щоб навколо піраміди можна було описати сферу, необхідно і достатньо, щоб навколо многокутника, що лежить в її основі, можна було описати коло.

Теорема 2. Навколо будь-якої правильної піраміди можна описати сферу і в будь-яку правильну піраміду можна вписати сферу.

Центр сфери, описаної навколо піраміди, можна знайти за допомогою таких двох тверджень.

1. Множина точок простору, рівновіддалених від двох даних точок А і В, є площина, що проходить через середину відрізка АВ і перпендикулярна до нього.

2. Нехай точка О — центр кола, описаного навколо плоского многокутника А₁A₂A₃...А_n. Тоді множина точок простору, рівновіддалених від усіх вершин многокутника А₁A₂A₃…А_n, являє собою перпендикуляр до площини многокутника, що проходить через точку О.

Наслідок. Якщо навколо многокутника, який лежить в основі піраміди SА₁A₂...А_n, можна описати коло, центром якого є точка О, то центр описаної навколо піраміди сфери міститься на перетині перпендикуляра до площини основи, поставленого з точки О, і площини, яка проходить через середину одного з бічних ребер піраміди (наприклад, A₁S) і перпендикулярна до цього ребра.

Центр уписаної у многогранник сфери лежить на перетині бісекторних площин усіх двогранних кутів многогранника.

Теорема 3. У довільну трикутну піраміду можна вписати сферу.

Об’єм многогранника

де r — радіус вписаної у многогранник сфери, S_п — площа повної поверхні многогранника.

Правильним називається многогранник, усі грані якого є однаковими правильними многокутниками.