Ознаки подібності трикутників

Перша ознака. Якщо два кути одного трикутника відповід­но дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то трикутники подібні.

Друга ознака. Якщо дві сторони одного трикутника відповідно пропорційні двом сторонам іншого трикутника, а кути між цими сторонами рівні, то трикутники подібні.

Третя ознака. Якщо три сторони одного трикутника відповідно пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, то трикутники подібні.

У трикутнику АВС (рис. 6) проведено відрізки AD і BE, що перетинаються в точці О. Відомі відношення, в яких точки D і Е поділяють відповідні сторони:

Рис. 6

Знайдемо відношення, в яких відрізки AD і BE поділяються точкою О. За умовою маємо:

Проведемо відрізок DF || BE . За теоремою Фалеса. Звідси визначаємо

Застосовуючи ще раз теорему Фалеса, дістаємо:

або

Аналогічно, провівши через точку Е провести пряму, паралель­ну AD, знайдемо

15.3. Чотирикутники

Чотирикутник називається опуклим, якщо він міститься в одній півплощині відносно кожної прямої, якій належить його сторона.

Властивості та ознаки паралелограма як одного з видів чотирикутників було розглянуто раніше (див. с. ). До частинних випад­ків паралелограма належать такі чотирикутники, як ромб, прямокутник і квадрат.

Ромбом називається паралелограм, усі сторони якого рівні між собою.

Крім властивостей паралелограма ромб (див. рисунок) має свої окремі властивості:

а) кожна діагональ ромба є бісектрисою його кутів;

б) діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.

Прямокутником називається паралелограм, усі кути якого прямі.

Окрема властивість прямокутника: діагоналі прямокутника рівні між собою.

Звідси випливає важлива властивість прямокутного трикутника:

Медіана прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Квадратом називається ромб, усі кути якого прямі.

Квадрат має властивості і ромба, і прямокутника.

Властивості вписаного й описаного кіл для чотирикутників подаються теоремами.

Теорема 1. Для того щоб у чотирикутник можна було вписати коло, необхідно і достатньо, щоб суми його протилежних сторін були рівні між собою.

Теорема 2. Для того щоб навколо чотирикутника можна було описати коло, необхідно і достатньо, щоб суми його протилежних кутів були рівні між собою.

15.4. Коло і круг. Число π

Колом називають множину точок площини, рівновіддалених від однієї точки, яку називають центром кола.

Кругом називають множину точок площини, відстань яких від однієї точки — центра кола — не перевищує сталої величини, яку називають радіусом кола.

Дотичною називають пряму, що має з колом одну спільну точ­ку (рис. 1). Січною називають пряму, що має дві спільні точки з колом.

Рис. 1

Хордою називають відрізок, що сполучає дві точки кола.

Діаметром називають хорду, що проходить через центр кола.

Теорема 1. Дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

Обернена теорема: якщо пряма перпендикулярна до радіуса в його кінці, що лежить на колі, то вона є дотичною (див. рис. 1).

Теорема 2. Відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки, що лежить поза колом, рівні між собою (на рис. 1 АВ = АС).

Теорема 3. Діаметр кола, перпендикулярний до хорди, проходить через її середину.

Обернена теорема: якщо діаметр проходить через середину хорди, то він перпендикулярний до неї (на рис. 2 АВ — хорда, MN — діаметр, АР = РВ).

Рис. 22

Кут, вершина якого міститься в центрі кола, називається центральним.

Центральний кут вимірюється дугою, на яку він спирається (на рис. 23).

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло, називають вписаним.

Теорема 4. Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається (на рис. 3 ).

Рис. 3

Частинний випадок: кут між дотичною і січною, що проходить через точку дотику, вимірюється половиною дуги, що її відтинає січна (на рис. 3 ).

Теорема 5 (про дві хорди). Якщо дві хорди перетинаються всередині кола, то добутки відрізків, на які кожна хорда розбивається точкою перетину, рівні між собою (рис. 4):

АЕ  ЕС = BE  ED.

Теорема 6 (про квадрат дотичної). Квадрат довжини дотич­ної дорівнює добутку відрізків січної (рис. 5):

АК² = АВ  АС.

Рис. 4

Рис. 5

Дотик кіл. Два кола можуть дотикатися як зовнішнім, так і внутрішнім чином (рис. 6).

Рис. 6

Теорема 7. Центри кіл, що дотикаються, і точка дотику мі­стяться на одній прямій (див. рис. 6).

Довжиною кола називають границю, до якої прямує послідов­ність периметрів правильних уписаних у це коло многокутників при необмеженому зростанні кількості їхніх сторін, а площею круга — границю, до якої прямує послідовність площ цих многокутників.

Довжина кола С = 2πR, а площа круга S = πR², де R — радіус кола, π = 3,14159... .