- •Тема 5. Ірраціональні рівняння
- •Тема 5. Ірраціональні рівняння
- •5.1. Рівняння на одз
- •5.2. Зведення рівняння в квадрат
- •5.3. Метод заміни
- •5.4. Виділення повного квадрата
- •5.5. Множення на сполучене вираження
- •5.6. Однорідні ірраціональні рівняння
- •5.9. Заміна радикалів новими невідомими
- •5.10. Уведення параметра (представив Саушкин о. Ф.)
- •5.11. Рівняння з модулями
- •5.12. Системи ірраціональних рівнянь
- •Питання для самоперевірки
- •Вправи для саморозв’язування
5.4. Виділення повного квадрата
При рішенні ірраціональних рівнянь часто використовують прийом виділення повного квадрата.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Виділимо під радикалами повний квадрат
чи
.
Вирішуємо рівняння на інтервалах і знаходимо корені,.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Позначимо й одержимо рівняння
.
Одержимо рішення .
Приклад. Вирішити рівняння
.
Запишемо рівняння
чи
чи
чи .
Приклад. Вирішити рівняння
.
Під знаком кореня — повний квадрат
.
Знаходимо ОДЗ
З першої системи знаходимо . Корінь— сторонній.
З другої системи знаходимо .
Корінь — сторонній.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Виділимо повний квадрат
.
Покладемо . Одержимо рівняння
.
Позначимо й одержимо рівняння
.
Якщо покладемо , то одержимо систему
.
Віднімаючи рівняння, одержимо
.
Вирішуємо рівняння
Оскільки .
5.5. Множення на сполучене вираження
Приклад. Вирішити рівняння
(1)
Помножимо обох частин рівняння на сполучене вираження
.
Одержимо рівняння
. (2)
Маємо корінь рівняння . З рівнянь (1), (2) знаходимо
.
Зводимо обох частин рівняння в квадрат.
.
Корінь не задовольняє рівнянню.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Ліву і праву частини рівняння множимо і поділяємо на сполучені вираження
.
Одержимо рівняння
.
Є загальний множник .
Приклад. Вирішити рівняння з кубічними иррациональностями
.
Помножимо на сполучене вираження .
Одержимо різницю кубів
.
Одержимо більш просте рівняння
.
Покладемо ,. Одержимо
, ,;,.
5.6. Однорідні ірраціональні рівняння
Рівняння виду
називається однорідним. Воно зводиться до квадратного рівняння заміною
.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Уведемо позначення
і приходимо до рівняння
, ,.
З рівняння
, .
Приклад. Розв’яжемо рівняння
чи .
Думаючи, ,,
, ,,.
Корінь не задовольняє рівнянню.
5.7. Розкладання на множники
Приклад. Розв’язати рівняння
Знайдемо спочатку ОДЗ із нерівностей
Винесемо загальний множник
Зведемо обидві частини рівняння до квадрату
,
або ,.
Приклад. Розв’язати рівняння
Винесемо корінь четвертого ступеня за дужки
, ,,.
Приклад. Розв’язати рівняння
Винесемо корінь за дужки
, ;
, ,,.
5.8. Рівняння з кубічними ірраціональностями
Розглянемо ірраціональні рівняння виду
(3)
Зведемо обидві частини рівняння в куб
.
Використаємо для спрощення рівняння (3)
. (4)
Зведемо обидві частини рівняння в куб
.
Якщо рівняння (3) маємо корінь, те він є коренем рівняння (4). Однак рівняння (4) може мати корінь, який не є коренем рівняння (3).
Позначимо:
, ,.
Рівняння (4) приймає вигляд
.
Це рівняння відрізняється від рівняння (30, яку можна записати у виді . Якщо рівняння (4) має зайві корені, те смороду є коренями рівнянь
, ,.
т. е.
; ,. (5)
Якщо при рішенні рівняння (4) з'явилися зайві корені, то вони задовольняють системі рівнянь (5).
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Зводимо обох частин рівняння в куб
; .
, . Цей корінь не задовольняє рівнянню, але є коренем системи рівнянь (5)
; ,.
Приклад. Розв’яжемо рівняння
.
Зводимо рівняння в куб по формулі (4)
; ;.
Корінь не задовольняє рівнянню, але задовольняє системі рівнянь
; ;.
Приклад. Розв’яжемо рівняння
.
По формулі (4) знаходимо
, ,.
Перевірка показує, що корінь — сторонній.