5.4. Виділення повного квадрата
При рішенні ірраціональних рівнянь часто використовують прийом виділення повного квадрата.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Виділимо під радикалами повний квадрат
чи
.
Вирішуємо
рівняння на інтервалах
і знаходимо корені
,
.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Позначимо
й одержимо рівняння
.
Одержимо
рішення
.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Запишемо рівняння
чи
чи
чи
.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Під знаком кореня — повний квадрат
.
Знаходимо ОДЗ
З першої
системи знаходимо
.
Корінь
— сторонній.
З другої
системи знаходимо
.
Корінь
— сторонній.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Виділимо повний квадрат
.
Покладемо
.
Одержимо рівняння
.
Позначимо
й одержимо рівняння
.
Якщо
покладемо
,
то одержимо систему
.
Віднімаючи рівняння, одержимо
.
Вирішуємо рівняння
Оскільки
.
5.5. Множення на сполучене вираження
Приклад. Вирішити рівняння
(1)
Помножимо обох частин рівняння на сполучене вираження
.
Одержимо рівняння
.
(2)
Маємо
корінь рівняння
.
З рівнянь (1), (2) знаходимо
.
Зводимо обох частин рівняння в квадрат.
.
Корінь
не задовольняє рівнянню.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Ліву і праву частини рівняння множимо і поділяємо на сполучені вираження
.
Одержимо рівняння
.
Є
загальний множник
.
Приклад. Вирішити рівняння з кубічними иррациональностями
.
Помножимо
на сполучене вираження
.
Одержимо різницю кубів
.
Одержимо більш просте рівняння
.
Покладемо
,
.
Одержимо
,
,
;
,
.
5.6. Однорідні ірраціональні рівняння
Рівняння виду
називається однорідним. Воно зводиться до квадратного рівняння заміною
.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Уведемо позначення
і приходимо до рівняння
,
,
.
З рівняння
,
.
Приклад. Розв’яжемо рівняння
чи
.
Думаючи,
,
,
,
,
,
.
Корінь
не задовольняє рівнянню.
5.7. Розкладання на множники
Приклад. Розв’язати рівняння
Знайдемо спочатку ОДЗ із нерівностей
Винесемо загальний множник
Зведемо обидві частини рівняння до квадрату
,
або
,
.
Приклад. Розв’язати рівняння
Винесемо корінь четвертого ступеня за дужки
,
,
,
.
Приклад. Розв’язати рівняння
Винесемо корінь за дужки
,
;
,
,
,
.
5.8. Рівняння з кубічними ірраціональностями
Розглянемо ірраціональні рівняння виду
(3)
Зведемо обидві частини рівняння в куб
.
Використаємо для спрощення рівняння (3)
. (4)
Зведемо обидві частини рівняння в куб
.
Якщо рівняння (3) маємо корінь, те він є коренем рівняння (4). Однак рівняння (4) може мати корінь, який не є коренем рівняння (3).
Позначимо:
,
,
.
Рівняння (4) приймає вигляд
.
Це
рівняння відрізняється від рівняння
(30, яку можна записати у виді
.
Якщо рівняння (4) має зайві корені, те
смороду є коренями рівнянь
,
,
.
т. е.
;
,
.
(5)
Якщо при рішенні рівняння (4) з'явилися зайві корені, то вони задовольняють системі рівнянь (5).
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Зводимо обох частин рівняння в куб
;
.
,
.
Цей корінь не задовольняє рівнянню, але
є коренем системи рівнянь (5)
;
,
.
Приклад. Розв’яжемо рівняння
.
Зводимо рівняння в куб по формулі (4)
;
;
.
Корінь
не задовольняє рівнянню, але задовольняє
системі рівнянь
;
;
.
Приклад. Розв’яжемо рівняння
.
По формулі (4) знаходимо
,
,
.
Перевірка
показує, що корінь
— сторонній.