ЗМІСТ

Лекція 1. Арифметика 3

1.1. Натуральні числа 3

1.2. Цілі числа 6

1.3. Ділення з остачею 8

1.4. Подільність натуральних чисел 9

1.5. Взаємно-прості та прості числа. НОК ТА НОД. Ознаки подільності натуральних чисел 10

1.6. Раціональні числа. Арифметичні дії з раціональними числами 12

1.7. Відношення та пропорції 18

1.8. Десяткові дроби 20

1.9. Відсотки 22

1.10. Нескінченні десяткові дроби. Періодичні десяткові дроби 25

1.11. Поняття про ірраціональні числа. Дійсні числа 28

1.12. Модуль дійсного числа, його властивості 31

Лекція 2. Алгебраїчні вирази та їх перетворення 33

2.1. Основні поняття та формули 33

2.2. Ділення многочленів 34

2.3. Корінь n-го степеня з дійcного числа. Арифметичний корінь n-го степеня. Правила дій із коренями 40

2.4. Степінь із раціональним показником 46

2.5. Перетворення числових та алгебраїчних виразів 47

Лекція 3. Радикали. Узагальнення поняття показника 59

3.1. Властивості ступенів і коренів 59

3.2. Дії з радикалами 61

3.3. Обчислення ірраціональних виразів 66

3.4. Оцінки для радикалів 70

Лекція 4. Алгебраїчні рівняння 77

4.1. Загальні відомості про рівняння 77

4.2. Рівняння першого степеня з одним невідомим 78

4.3. Рівняння другого степеня з одним невідомим 83

4.4. Задачі на використання властивостей дискримінанта 86

4.5. Використання формул Вієта 88

4.6. Розміщення коренів квадратного рівняння 92

4.7. Алгебраїчні рівняння вищих степенів та їхні властивості 98

4.8. Розкладання многочлена на множники 100

4.9. Рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь 108

4.10. Метод Кардано для рішення кубічного рівняння 124

4.11. Уведення параметра замість сталого коефіцієнта 125

4.12. Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння 126

4.13. Метод Феррарі для розв’язування рівнянь четвертого степеня 130

4.14. Метод заміни рівняння системою двох рівнянь 132

4.15. Розв’язування рівнянь у цілих числах 133

Лекція 5. Ірраціональні рівняння 139

5.1. Розв’язування найпростіших ірраціональних рівнянь із відшуканням ОДЗ 140

5.2. Піднесення обох частин рівняння до квадрата 141

5.3. Метод заміни 143

5.4. Виділення повного квадрата 147

5.5. Множення обох частин рівняння на вираз, спряжений до виразу в лівій частині 150

5.6. Однорідні ірраціональні рівняння 151

5.7. Розкладання на множники 153

5.8. Рівняння з кубічними ірраціональностями 154

5.9. Заміна радикалів новими невідомими 156

5.10. Уведення параметра 158

5.11. Рівняння з модулями 160

5.12. Системи ірраціональних рівнянь 163

Лекція 6. Тригонометричні вирази та їх перетворення 171

6.1. Відношення сторін трикутника 171

6.2. Означення і графіки тригонометричних функцій 174

6.3. Основні тригонометричні тотожності 181

6.4. Формули додавання кутів 182

6.5. Формули зведення 184

6.6. Перетворення добутків тригонометричних функцій на суми 186

6.7. Формули додавання та віднімання тригонометричних функцій 186

6.8. Подання тригонометричних функцій через тангенсів половинного кута 188

6.9. Обчислення похідних тригонометричних функцій 188

6.10. Приклади перетворень тригонометричних виразів 189

Лекція 7. Обернені тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння 203

7.1. Обернена функція 203

7.2. Графік і властивості функції y = arcsin x 204

7.3. Графік і властивості функції y = arccos x 206

7.4. Графік і властивості функції y = arctg x 208

7.5. Графік і властивості функції y = arcctg x 210

7.6. Рівняння з оберненими тригонометричними функціями 214

7.7. Основні найпростіші тригонометричні рівняння 217

7.8. Лінійне тригонометричне рівняння 221

7.9. Зведення тригонометричного рівняння до алгебраїчного 222

7.10. Розкладання рівняння на множники 224

7.11. Рівність однойменних функцій 224

7.12. Перетворення добутків на суми, а сум на добутки 227

7.13. Розв’язування, що ґрунтується на обмеженості функцій 228

7.14. Системи тригонометричних рівнянь 229

Лекція 8. Показникові та логарифмічні рівняння 241

8.1. Показникова функція 242

8.2. Логарифмічна функція 243

8.3. Приклади перетворень логарифмічних виразів 245

8.4. Способи розв’язання логарифмічних рівнянь 247

8.5. Способи розв’язування показникових рівнянь 251

8.6. Показниково-степеневі рівняння 254

8.7. Системи показникових і логарифмічних рівнянь 256

Лекція 9. Розв’язування нерівностей 262

9.1. Основні поняття 262

9.2. Нерівності першого степеня з одним невідомим 263

9.3. Квадратні нерівності 264

9.4. Метод інтервалів 266

9.5. Ірраціональні нерівності 268

9.6. Показникові нерівності 271

9.7. Логарифмічні нерівності 272

9.8. Деякі типові задачі, що зводяться до розв’язування системи нерівностей 275

9.9. Тригонометричні нерівності 276

9.10. Алгебраїчні нерівності 282

Лекція 10. Системи алгебраїчних рівнянь 290

10.1. Система лінійних алгебраїчних рівнянь 290

10.2. Системи двох рівнянь із двома невідомими 292

10.3. Системи рівнянь із трьома невідомими 305

Лекція 11. Задачі на складання систем рівнянь та нерівностей 308

11.1. Хімічні задачі 308

11.2. Задачі на рух 319

11.3. Задачі, в яких кількість невідомих перевищує кількість рівнянь системи 326

11.4. Задачі, що розв’язуються за допомогою нерівностей 330

11.5. Задачі з цілочисловими невідомими 334

11.6. Задачі, в яких потрібно знаходити найбільші і найменші значення деяких виразів 339

Лекція 12. Задачі з параметром 345

12.1. Лінійні рівняння з параметром 346

12.2. Квадратні рівняння з параметром 349

12.3. Графічне розв’язування рівнянь із параметрами 361

12.4. Дослідження та розв’язування систем лінійних рівнянь із двома невідомими параметрами 364

Лекція 13. Похідна та її застосування 369

13.1. Відомості з історії 369

13.2. Похідна 374

Лекція 14. Функції та їхні графіки 391

14.1. З історії поняття функції 391

14.2. Числова функція 393

14.3. Графік функції 394

14.4. Перетворення графіків 395

14.5. Відображення 401

14.6. Парні і непарні функції. Періодичність тригонометричних функцій 405

14.7. Періодичні функції 408

14.7. Зростання та спадання функцій 413

14.8. Екстремуми 414

14.9. Дослідження функцій 417

14.10. Ознаки зростання та спадання функції 420

14.11. Критичні точки функції, максимуми і мінімуми 422

Лекція 15. Основи геометрії 426

15.1. Основні поняття планіметрії. Трикутники та їхні властивості 426

15.2. Паралельність. Паралелограм і трапеція. Подібність трикутників 428

15.3. Чотирикутники 433

15.4. Коло і круг. Число π 434

15.5. Визначні точки в трикутнику 437

15.6. Метричні теореми планіметрії. Формули площі трикутника 439

15.7. Основні аксіоми та найпростіші теореми стереометрії 444

15.8. Перпендикулярність у просторі. Проекція прямої. Двогранний кут 445

15.9. Многогранники. Площі поверхонь. Об’єм многогранників 449

15.10 Циліндр. Конус. Сфера, куля та її частини 452

Лекція 16. Основи векторної алгебри

та аналітичної геометрії 457

16.1. Означення та основні властивості векторів 457

16.2. Скалярний добуток векторів, його властивості 460

16.3. Координати вектора 462

16.4. Векторний добуток 464

16.5. Аналітична геометрія 464

Лекція 17. Комплексні числа 503

17.1. Походження комплексних чисел 503

17.2. Означення комплексних чисел 504

17.3. Дії з комплексними числами 508

17.4. Дії з комплексними числами у тригонометричній формі 510

17.5. Показникова функція. Формули Ейлера 512

17.6. Гіперболічні функції 514

17.7. Логарифмічна функція 517

17.8. Обернені тригонометричні функції 519

Лекція 18. Основи комбінаторики та теорії імовірностей 524

18.1. Елементи комбінаторики 524

18.2. Випадкові події, імовірність подій 528

18.3. Теорема додавання ймовірностей 531

18.4. Теореми множення ймовірностей 534

18.5. Формула повної імовірності. Формула Баєса 535

18.6. Повторення випробувань. Формула Бернуллі 537

Залікова робота 539

Література 541

34

Елементарна математика