- •Тема 5. Ірраціональні рівняння
- •Тема 5. Ірраціональні рівняння
- •5.1. Рівняння на одз
- •5.2. Зведення рівняння в квадрат
- •5.3. Метод заміни
- •5.4. Виділення повного квадрата
- •5.5. Множення на сполучене вираження
- •5.6. Однорідні ірраціональні рівняння
- •5.9. Заміна радикалів новими невідомими
- •5.10. Уведення параметра (представив Саушкин о. Ф.)
- •5.11. Рівняння з модулями
- •5.12. Системи ірраціональних рівнянь
- •Питання для самоперевірки
- •Вправи для саморозв’язування
Тема 5. Ірраціональні рівняння
5.1. Рівняння на ОДЗ.
5.2. Зведення рівняння в квадрат.
5.3. Метод замін.
5.4. Виділення повного квадрата.
5.5. Множення на сполучене вираження.
5.6. Однорідні ірраціональні рівняння.
5.7. Розкладання на множники.
5.8. Рівняння з кубічними ірраціональностями.
5.9. Заміна радикалів новими невідомими.
5.10. Уведення параметра.
5.11. Рівняння з модулями.
5.12. Системи ірраціональних рівнянь.
Питання для самоперевірки.
Вправи для самостійного розв'язування.
Тема 5. Ірраціональні рівняння
Рівняння називається ірраціональним, якщо невідоме входить під знаком чи радикала невідоме зводиться в ступінь із дробовим показником. Рішення ірраціонального рівняння зводиться до звільнення від ірраціональності і рішенню отриманого рівняння. При зведенні рівняння в ступінь можуть з'явитися сторонні корені. Тому необхідно робити перевірку, чи є знайдені корені рішеннями вихідного рівняння. Основним методом рішення ірраціональних рівнянь є зведення обох частин рівняння в ступінь. Приведемо основні способи рішення ірраціональних рівнянь.
5.1. Рівняння на одз
Знаходимо ОДЗ з умов того, що підкореневе вираження вираженнязадовольняє умові. При рішенні ірраціонального рівняння перевіряємо, чи входять знайдені корені в ОДЗ.
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Зведемо обидві частини рівняння в квадрат
.
Корінь не задовольняє рівнянню, тому що під коренем будуть негативні вираження.
Приклад. Вирішимо ірраціональне рівняння
.
Корені ,не входять в ОДЗі не задовольняють рівнянню.
Приклад. Вирішимо рівняння
.
З рівнянь знаходимо корені,,. Коріньне входить в ОДЗі є стороннім.
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Рівняння має очевидний корінь , що не входить в ОДЗ і є стороннім. Після скорочення наодержимо рівняння
, ,.
Варто оцінити значення лівої і правої частин рівняння в ОДЗ. Якщо вони не можуть бути рівними в ОДЗ, то рівняння не має рішення.
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Знаходимо ОДЗ . В ОДЗ виконана нерівність,.
Тому рівняння не має рішення.
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Знаходимо ОДЗ із нерівностей
Рівняння рішень не має.
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Знаходимо ОДЗ: . В ОДЗ права частина рівняння негативна, а ліва частина ненегативна. Рівняння не має рішення,.
5.2. Зведення рівняння в квадрат
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Зведемо рівняння в квадрат
.
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Виділимо обох частин рівняння в квадрат
Після приведення подібних членів одержимо
.
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Перетворимо рівняння
.
Зводимо обох частин рівняння в квадрат
.
Це рішення не задовольняє рівнянню .
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Зведемо обох частин рівняння в квадрат. Одержимо
Зведемо рівняння в квадрат
.
Рішення ,не задовольняють рівнянню.
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Зведемо обох частин рівняння в квадрат
,
чи .
5.3. Метод заміни
Заміна підкореневого вираження спрощує зведення ірраціонального рівняння до раціонального.
Приклад. Вирішимо рівняння
.
Позначимо . Одержимо рівняння
Одержимо рівняння
.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Позначимо . Одержимо рівняння
.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Позначаючи , одержимо рівняння.
. Вирішуємо рівняння
;
.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Думаємо . Одержимо рівняння
.
З рівняння .
Приклад. Вирішити рівняння
.
Думаємо .
Вирішуємо рівняння: .
Звідси знаходимо .
Приклад. Вирішити рівняння
.
Думаємо . Одержимо рівняння
.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Виділимо повний квадрат
.
Уведемо заміну: .
З рівняння , знаходимо.
.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Уведемо позначення . Рівняння прийме вид
.
Рівняння рішення не має.
Рівняння має корені:.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Позначимо . Одержимо рівняння
.
Вирішуємо рівняння
Корінь — сторонній.
Приклад. Вирішити рівняння
.
Позначимо , одержимо рівняння.
. Знаходимо .