Тема 5. Ірраціональні рівняння

5.1. Рівняння на ОДЗ.

5.2. Зведення рівняння в квадрат.

5.3. Метод замін.

5.4. Виділення повного квадрата.

5.5. Множення на сполучене вираження.

5.6. Однорідні ірраціональні рівняння.

5.7. Розкладання на множники.

5.8. Рівняння з кубічними ірраціональностями.

5.9. Заміна радикалів новими невідомими.

5.10. Уведення параметра.

5.11. Рівняння з модулями.

5.12. Системи ірраціональних рівнянь.

Питання для самоперевірки.

Вправи для самостійного розв'язування.

Тема 5. Ірраціональні рівняння

Рівняння називається ірраціональним, якщо невідоме входить під знаком чи радикала невідоме зводиться в ступінь із дробовим показником. Рішення ірраціонального рівняння зводиться до звільнення від ірраціональності і рішенню отриманого рівняння. При зведенні рівняння в ступінь можуть з'явитися сторонні корені. Тому необхідно робити перевірку, чи є знайдені корені рішеннями вихідного рівняння. Основним методом рішення ірраціональних рівнянь є зведення обох частин рівняння в ступінь. Приведемо основні способи рішення ірраціональних рівнянь.

5.1. Рівняння на одз

Знаходимо ОДЗ з умов того, що підкореневе вираження вираженнязадовольняє умові. При рішенні ірраціонального рівняння перевіряємо, чи входять знайдені корені в ОДЗ.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Зведемо обидві частини рівняння в квадрат

.

Корінь не задовольняє рівнянню, тому що під коренем будуть негативні вираження.

Приклад. Вирішимо ірраціональне рівняння

.

Корені ,не входять в ОДЗі не задовольняють рівнянню.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

З рівнянь знаходимо корені,,. Коріньне входить в ОДЗі є стороннім.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Рівняння має очевидний корінь , що не входить в ОДЗ і є стороннім. Після скорочення наодержимо рівняння

, ,.

Варто оцінити значення лівої і правої частин рівняння в ОДЗ. Якщо вони не можуть бути рівними в ОДЗ, то рівняння не має рішення.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Знаходимо ОДЗ . В ОДЗ виконана нерівність,.

Тому рівняння не має рішення.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Знаходимо ОДЗ із нерівностей

Рівняння рішень не має.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Знаходимо ОДЗ: . В ОДЗ права частина рівняння негативна, а ліва частина ненегативна. Рівняння не має рішення,.

5.2. Зведення рівняння в квадрат

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Зведемо рівняння в квадрат

.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Виділимо обох частин рівняння в квадрат

Після приведення подібних членів одержимо

.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Перетворимо рівняння

.

Зводимо обох частин рівняння в квадрат

.

Це рішення не задовольняє рівнянню .

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Зведемо обох частин рівняння в квадрат. Одержимо

Зведемо рівняння в квадрат

.

Рішення ,не задовольняють рівнянню.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Зведемо обох частин рівняння в квадрат

,

чи .

5.3. Метод заміни

Заміна підкореневого вираження спрощує зведення ірраціонального рівняння до раціонального.

Приклад. Вирішимо рівняння

.

Позначимо . Одержимо рівняння

Одержимо рівняння

.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Позначимо . Одержимо рівняння

.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Позначаючи , одержимо рівняння.

. Вирішуємо рівняння

;

.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Думаємо . Одержимо рівняння

.

З рівняння .

Приклад. Вирішити рівняння

.

Думаємо .

Вирішуємо рівняння: .

Звідси знаходимо .

Приклад. Вирішити рівняння

.

Думаємо . Одержимо рівняння

.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Виділимо повний квадрат

.

Уведемо заміну: .

З рівняння , знаходимо.

.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Уведемо позначення . Рівняння прийме вид

.

Рівняння рішення не має.

Рівняння має корені:.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Позначимо . Одержимо рівняння

.

Вирішуємо рівняння

Корінь — сторонній.

Приклад. Вирішити рівняння

.

Позначимо , одержимо рівняння.

. Знаходимо .