- •Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей 8
- •Модульний план
- •Розподіл балів за виконані роботи
- •Критерії оцінювання знань, вмінь та навичок студентів Лекційні заняття
- •Практичні заняття
- •Оцінювання самостійної та індивідуальної роботи
- •Модуль і. Теорія ймовірностей Змістовний модуль 1. Теоретичні основи теорії ймовірностей та комбінаторики
- •Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей
- •1.1. Поняття "випробування" та "подія". Предмет теорії ймовірностей. Коротка історична довідка.
- •Властивості операцій над подіями
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 2. Основні поняття та принципи комбінаторики
- •Сполуки без повторень елементів
- •Сполуки з повторенням елементів
- •Основні принципи комбінаторики
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 3. Ймовірність подій. Основні теореми теорії ймовірностей
- •Властивості ймовірності
- •3.2. Відносна частота. Статистичне означення ймовірності.
- •3.3. Геометричне означення ймовірності
- •Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність. Теореми множення ймовірностей.
- •Теорема множення ймовірностей залежних подій
- •3.5. Теореми додавання ймовірностей Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
- •3.6. Ймовірність настання хоча б однієї події
- •Теорема
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 4. Формула повної ймовірності. Формула Бейєса.
- •4.1. Формула повної ймовірності
- •4.2. Формула Бейєса
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 5. Послідовні незалежні випробування
- •5.1.Схема повторних незалежних випробувань Бернуллі.
- •5.2. Граничні теореми у схемі Бернуллі
- •5.3. Ймовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності в незалежних випробуваннях
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичні заняття Практичне заняття №1
- •Практичне заняття №2
- •Практичне заняття №3
- •Практичне заняття №4
- •Практичне заняття №5
- •Самостійна робота
- •Рівень а
- •Рівень б
- •Рівень в
- •Рівень а
- •Рівень б
- •Рівень в
- •Теми рефератів
- •Задачі для самоперевірки
- •Змістовний модуль 2. Випадкові величини
- •Тема 6. Види випадкових величин та способи їх задання
- •6.1. Поняття випадкової величини. Закони розподілу випадкових величин.
- •6.1.1. Дискретні випадкові величини
- •Числові характеристики двв
- •6.1.2. Неперервні випадкові величини. Щільність розподілу.
- •Основні закони розподілу неперервних величин
- •Числові характеристики ннв
- •Правило трьох сигм
- •6.2. Закон великих чисел та центральна гранична теорема
- •Теорема
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичны заняття Практичне заняття №6
- •Практичне заняття №9
- •Самостійна робота
- •Числові характеристики основних розподілів
- •Рівень а
- •Рівень б
- •Рівень в
- •Задача 1
- •Задача 2
- •10. Неперервна випадкова величина задана інтегральною функцією розподілу:
- •Задачі для самоконтролю
- •Модуль іі. Математична статистика Змістовний модуль 3. Теоретичні основи математичної статистики
- •Тема 7. Предмет та задачі математичної статистики
- •Види та способи відбору
- •Первинна обробка даних
- •Згрупований розподіл накопиченої частоти
- •Розподіл щільності частоти і щільності відносної частоти
- •Емпірична функція розподілу
- •Властивості емпіричної функції розподілу
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 8. Статистичні оцінки параметрів розподілу
- •8.1. Числові характеристики статистичного розподілу
- •Алгоритм методу добутків
- •8.2. Точкові та інтервальні оцінки параметрів розподілу
- •Точкова оцінка математичного сподівання
- •Точкова оцінка дисперсії. Виправлена дисперсія
- •Інтервальні оцінки для математичного сподівання
- •Знаходження об’єму вибірки
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичні заняття Практичне заняття №10
- •Практичне заняття №11
- •Практичне заняття №12-13
- •Практичне заняття №14
- •Самостійна робота
- •Змістовний модуль 4. Статистична перевірка гіпотез. Елементи теорії кореляції і дисперсійного аналізу
- •Тема 9. Статистична перевірка гіпотез
- •Статистичні гіпотези та їх класифікація
- •9.2. Статистичні критерії перевірки нульової гіпотези
- •9.3. Перевірка гіпотези про закон розподілу. Критерій згоди Пірсона.
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 10. Елементи теорії кореляції
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 11. Поняття дисперсійного аналізу. Однофакторний дисперсійний аналіз
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичні заняття
- •Практичне заняття №17
- •Практичне заняття №18
- •Самостійна робота
- •Методичні рекомендації
- •Список використаної та рекомендованої літератури
- •Додатки
- •Математична довідка
- •Властивості функції
- •V. Правила інтегрування функцій
Рівень б
1. На малюнку зображено графік
нормального закону розподілу;
показникового закону розподілу;
рівномірного закону розподілу.
2. Випадкову величину Х називають розподіленою нормально, якщо щільність її ймовірностей має вигляд
;
;
.
3. Оберіть неправильне твердження:
Математичне сподівання сталої величини є сама ця стала М(С)=С.
Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання М(СХ)=СМ(Х).
Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань.
4. Оберіть правильне твердження:
D(C)=0, C – стала величина;
сталий множник можна винести за знак дисперсії;
дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює різниці їх дисперсій.
5. Розподілом дискретної випадкової величини є
рівномірний розподіл;
показниковий;
біноміальний.
6. Математичне сподівання НВВ, розподіленої за біноміальним законом розподілу, знаходять за формулою:
np;
npq
7. Для будь-якої випадкової величини Х ймовірність того, що вона відхиляється від свого математичного сподівання більше, ніж на число, завжди менша, ніж
;
;
.
8. Ймовірність настання принаймні однієї з подій А1, А2, ..., Ап , незалежних в сукупності, знаходиться за формулою:
;
;
.
9. Чи справедлива рівність , дерк– ймовірність значень ДВВ,
так;
ні.
10. Аналітичний вираз , де>0, п=0,1,2,... має назву
формула Пуассона;
локальна теорема Муавра – Лапласа;
інтегральна теорема Муавра – Лапласа.
Рівень в
1. Нехай Х – випадкова величина, яка має біноміальний розподіл з параметрами n та р. Відомо, що М(Х)=12; D(Х)=4. Тоді кількість випробувань дорівнює
18;
24;
9.
2. Дискретна випадкова величина задана законом розподілу
хі |
3000 |
5000 |
10000 |
рі |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Математичне сподівання дорівнює:
5400;
5450;
6000.
3. Автобус деякого маршруту йде точно за розкладом в інтервалі 6 хвилин. Знайти ймовірність того, що пасажир, котрий підійшов до зупинки, буде чекати наступного автобуса протягом з хвилин. Якою формулою потрібно скористатися для обрахунку ймовірності?
1) ;
2)
4. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої неперервної випадкової величини Х відповідно рівні 12 і 4. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення з інтервалу (14;16).
Який вираз веде до правильного результату?
1) ;
2) ;
3) .
ІІІ. Модульна контрольна робота передбачає розв’язання двох задач, яке оцінюється 2,5 балами.
Орієнтовні варіанти задач для мкр
Задача 1
1. Двоє друзів при закінченні університету одержали спеціальності інженера і менеджера. Ймовірність того, що при закінченні університету випускник-інженер одразу влаштується на роботу дорівнює 0,7, для випускника-менеджера ця ймовірність складає 0,8. Дискретна випадкова величина – кількість друзів, що влаштувалися на роботу. Знайти закон розподілу ДВВ, числові характеристики та функцію розподілу.
2. Відрізок поділено на дві рівні частини. На цей відрізок кинуто три точки. Попадання точки в будь-яке місце відрізку рівноможливе. Дискретна випадкова величина – кількість точок, що потрапили на першу половину відрізку. Знайти закон розподілу ДВВ, числові характеристики та функцію розподілу.
3. Проводиться вимірювання зросту трьох студентів. Ймовірність того, що студент має зріст вище ніж 1м 85см складає 0,3. Вимірювання припиняється при виявленні студента зі зростом більше ніж 1м 85см. Дискретна випадкова величина – кількість досліджених студентів. Знайти закон розподілу ДВВ, числові характеристики та функцію розподілу.
4. Дискретна випадкова величина Х – кількість разів появи 4 очок при двох підкиданнях одного грального кубика. Знайти закон розподілу ДВВ, числові характеристики та функцію розподілу.
5. Дискретна випадкова величина Х – кількість разів появи 4 очок при підкиданні двох гральних кубиків. Знайти закон розподілу ДВВ, числові характеристики та функцію розподілу.
6. З колоди карт (36 шт.) беруть дві карти. Дискретна випадкова величина Х – кількість дам серед взятих 2-х карт. Знайти закон розподілу ДВВ, числові характеристики та функцію розподілу.
7. На шляху руху автомобіля три світлофори, кожен з яких дозволяє або забороняє рух автомобіля з ймовірністю 0,5. Дискретна випадкова величина Х – кількість світлофорів, які водій проїхав без зупинки.Знайти закон розподілу ДВВ, числові характеристики та функцію розподілу.
8. Проводиться тестування чотирьох людей. Ймовірність того, що обрана людина виявиться екстравертом – 0,4. Дослідження припиняється при першому виявленні екстраверта. Дискретна випадкова величина – кількість досліджених людей. Знайти закон розподілу ДВВ, числові характеристики та функцію розподілу.
9. В ящику знаходяться ялинкові прикраси: 7 червоного кольору, та 3 – жовтого. Навмання беруть 2 прикраси. Дискретна випадкова величина – число червоних прикрас серед відібраних. Знайти закон розподілу ДВВ, числові характеристики та функцію розподілу.
10. В ящику знаходяться пачки морозива: 6 - пломбір, та 4 – кавове. Навмання беруть 2 пачки. Дискретна випадкова величина – число пачок з пломбіром серед відібраних. Знайти закон розподілу ДВВ, числові характеристики та функцію розподілу.