3.6. Ймовірність настання хоча б однієї події

Нехай у результаті випробування можуть відбутися п подій А₁, А₂, ..., А_п , незалежних в сукупності, ймовірності яких р₁, р₂, ..., р_п. Тоді ймовірності протилежних подій дорівнюють....,.

Теорема

Ймовірність настання принаймні однієї з подій

А₁, А₂, ..., А_п, незалежних в сукупності,

знаходиться за формулою

(5)

Задача 15. Людина може захворіти на грип при попаданні в організм однієї вірусної клітини. Знайти ймовірність того, що людина захворіє на грип, якщо в її організм попаде чотири різні вірусні клітини з ймовірністю потрапити відповідно 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

Розв’язання. За умовою задачі, людина захворіє на грип при попаданні в організм принаймні однієї з чотирьох вірусних клітин. Це дає підстави для використання формули (5). Відомі ймовірності потрапляння в організм людини вірусних клітин, а саме: ,,,, відповідно,,,. Отже, підставивши знайдені значення у формулу, маємо:.

Відповідь: 0,9664.

Запитання для самоконтролю

1. Що таке ймовірність події? В яких випадках використовують класичне та геометричне означення ймовірності?

2. Що таке відносна частота події?

3. Назвати основні властивості ймовірності та відносної частоти.

4. Сформулювати теореми додавання ймовірностей для несумісних та сумісних подій.

5. Дати означення залежних та незалежних випадкових подій, умовної ймовірності випадкової події.

6. Сформулювати і записати теореми множення ймовірностей залежних та незалежних подій.

Тема 4. Формула повної ймовірності. Формула Бейєса.

4.1. Формула повної ймовірності

На практиці зустрічаються ситуації, коли деяка подія А може відбутися тільки разом з однією з подій Н₁, Н₂, ..., Н_п, які утворюють повну групу подій (, ). Якщо ймовірності подій Н₁, Н₂, ..., Н_п позначити 0 (і=1,2, ...,п), то ймовірність події А обчислюється за формулою

, (6)

яка називається формулою повної ймовірності. Випадкові події Н₁, Н₂, ..., Н_п називаються гіпотезами.

Задача 16. Досліджуються результати екзамену з теорії ймовірностей у двох групах. У першій групі з 28 студентів 10 отримали оцінку „відмінно”, а в другій – з 22 студентів 7 студентів отримали оцінку „відмінно”. Яка ймовірність того, що навмання вибраний студент отримав на екзамені оцінку „відмінно”?

Розв’язання. Випробування – навмання обираємо одного студента із двох груп. Подія А – навмання вибраний студент на екзамені отримав оцінку „відмінно”. Це може статися, якщо студента вибрали з першої групи (гіпотеза Н₁), або з другої (гіпотеза Н₂). За статистичним означенням ймовірності маємо:

Схематично задача 16 представлена на рис. 3.

Рис. 3.

Застосуємо формулу повної ймовірності у випадку двох гіпотез

.

Підставивши числові значення, маємо

.

Відповідь: 0,34.

4.2. Формула Бейєса

Нехай виконуються ті ж умови, що й для формули (6).

Для переоцінки ймовірностей гіпотез Н_і (і=1,2, ...,п ) за умови, що подія А здійснилася (0), тобто для обчислення ймовірностей і=1,2, ...,п, користуються формулою Бейєса:

= .

Отже, формула Бейєса дає відповідь на запитання: якщо подія А здійснилася, то яка ймовірність того, що вона здійснилася з Н_і гіпотезою.

Задача 17. У першому ящику маємо 8 стандартних і 2 браковані деталі, а у другому – 5 стандартних і 5 бракованих. Ящики ідентичні. З навмання обраного ящика навмання взято дві деталі, які виявилися стандартними. Яка ймовірність того, що їх взяли з другого ящика?

Розв’язання Випробування – з навмання обраного ящика навмання взято дві деталі. Введемо позначення: подія А – взято дві стандартні деталі; гіпотеза Н₁ – навмання взяті дві стандартні деталі з першого ящика; гіпотеза Н₂ – навмання взяті дві стандартні деталі з другого ящика.

Обчислимо ймовірності цих подій

Для переоцінки ймовірності Н₂ використаємо формулу Бейєса:

.

Відповідь: .