- •1. Фізичні основи класичної механіки Основні формули Елементи кінематики
- •Елементи динаміки
- •Приклади розв’язання задач.
- •Тема № 2. Молекулярна фізика та термодинаміка. Основні формули
- •Окремі випадки розподілу Гіббса:
- •Приклади розв’язання задач Приклад 1. Знайти густину кисню при нормальних умовах.
- •Тема №3 електростатика. Електричний струм. Основні формули
- •Приклади розв’язання задач.
- •Тема № 4 електромагнетизм Основні формули
- •Коливання та хвилі Основні формули
- •Приклади розв’язання задач
- •Тема №5
- •Основні формули
- •Фотометрія
- •Геометрична оптика
- •Хвильова оптика
- •Елементи релятивістської динаміки
- •Квантова теорія випромінювання. Фотони.
- •Приклади розв’язання задач
Окремі випадки розподілу Гіббса:
а) розподіл молекул по швидкостям (закон Максвелла)
(2.36)
де N – кількість молекул, відносні швидкості яких лежать в інтервалі від u до u + u; – відносна швидкість, – швидкість молекули і
–найбільш імовірна швидкість молекул;
N – загальне число молекул;
При розв’язуванні задач на розподіл молекул по швидкостям зручно використовувати таблицю (1)
Таблиця 2.1
U |
U |
U | |||
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 |
0 0,02 0,09 0,18 0,31 0,44 0,57 0,68 0,76 |
0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 |
0,81 0,83 0,82 0,78 0,71 0,63 0,54 0,46 0,36 |
1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 |
0,29 0,22 0,16 0,12 0,09 0,06 0,04 0,03 |
б) барометрична формула (у припущенні, що температура в усіх точках однакова) дає залежність тиску газу від висоти h в полі сили тяжіння
(2.37)
де – тиск на висоті h = 0; g – прискорення сили тяжіння.
Рівняння стану реального газу (рівняння Ван-дер-Ваальса) для одного моля
(2.38)
де – об’єм моля; a і b – постійні, які залежать від природи газу.
Рівняння для будь-якої кількості газу
(2.39)
Постійні a і b зв’язані з критичними параметрами співвідношеннями
(2.40)
Властивості рідини.
Коефіцієнт поверхневого натягу рідини
або (2.41)
де F – сила поверхневого натягу, яка діє на контур довжиною l, що обмежує поверхню рідини; W – енергія, яку треба затратити для збільшення площі поверхні на величину S.
Формула Лапласа для додаткового тиску, викликаного кривиною поверхні рідини
(2.42)
де і- радіуси кривини двох взаємно перпендикулярних перерізів поверхні рідини. Радіус вважається додатним, якщо меніск опуклий і від’ємним, якщо меніск угнутий.
Висота підняття рідини у капілярі
(2.43)
де r – радіус капіляра; - густина рідини; - крайовий кут. При повному змочуванні = 0, при повному незмочуванні = 180.
Приклади розв’язання задач Приклад 1. Знайти густину кисню при нормальних умовах.
Розв’язання
Застосуємо рівняння Менделєєва – Клапейрона (2.3)
(1)
де P – тиск газу, V – об’єм газу; m – маса газу; M – молярна маса газу; R – газова постійна; T – термодинамічна температура.
Густина речовини
(2)
Розв’язуємо сумісно (1) і (2). Для цього з (2) виразимо m і підставимо в (1)
або
звідки
Перевіримо одиницю вимірювання
Підставимо числові дані.
При нормальних умовах P = 760 мм. рт. ст. , T = 0 С = 273К;
R = 8,31 Дж / (моль K), M = .
Відповідь
Приклад2. Скільки молекул міститься у посудині ємністю 5л, заповненому вуглекислим газом? Температура у посудині 127 С, тиск 0,1 МПа.
Розв’язання
Кількість молекул ,
де – кількість речовини; – постійна Авогадро.
Кількість речовини знайдемо, скориставшись рівнянням Менделєєва – Клапейрона (2.3)
де P – тиск газу, V – об’єм газу; R – газова постійна;
T – термодинамічна температура.
Тоді
Перевіримо одиницю вимірювання.
(безрозмірна величина).
Підставимо числові дані, виразивши їх в системі Сі
Т = 127 + 273 = 400К
Відповідь
Приклад 3. У балоні об’ємом 5л міститься гелій під тиском 2МПа і температурі 127 С. Після того як з балону було взято деяку масу гелію, температура у балоні зменшилась на 10 градусів, а тиск зменшився до 1,5 МПа. Яку масу гелію було взято з балону?
Розв’язання
Скористаємось рівнянням Менделєєва – Клапейрона (2.3) записавши його для початкового і кінцевого станів газу у балоні.
(1)
(2)
де ,,– тиск, маса, термодинамічна температура у початковому стані;,,– відповідні величини у кінцевому стані; V – об’єм балону; – молярна маса гелію; R – газова постійна.
З (1) виразимо , з (2) виразимо.
Тоді
Перевіримо одиницю вимірювання
Знайдемо числове значення з урахуванням того, що
R = 8,31 Дж / (моль K),
M = .
Відповідь = 2,77г.
Приклад 4. У посудині об’ємом V =25л міститься =100г гелію і=140г азоту при температур t =27. Знайти тиск у посудині.
Розв’язання
Скористаємося законом Дальтона (2.8), згідно з яким тиск у суміші газів дорівнює сумі парціальних тисків.
, (1)
де і(2)
і - малярні маси гелію і азоту відповідно.
Підставимо (2) в (1).
Перевіримо одиницю вимірювання.
Обчислення.
Па
Відповідь:Р=2,99 МПа.
Приклад 5. Знайти густину ρ деякого газу, якщо тиск Р у балоні 380 мм рт. ст. , а середня квадратична швидкість руху його молекул =800м/с.
Розв’язання
Середня квадратична швидкість теплового руху молекул газу за формулою (2.16) дорівнює
, (1)
де ; Т – абсолютна температура; M– молярна маса газу.
Звідки . (2)
Порівняємо з рівнянням Менделєєва-Клапейрона
(3)
З (2) виразимо і підставимо в (3):
, або (4)
За визначенням густина ρ= m/V, тому з (4)
ρ. (5)
Перевіримо одиницю вимірювання.
[ρ].
Переведемо тиск у одиницю вимірювання в системі :
P=380 мм рт. ст. 133 = 0,5Па.
Підставимо у (5) числові дані
ρкг/.
Відповідь: ρ=0,23 кг/.
Приклад 6. Визначити середню довжину вільного пробігу молекул азоту при нормальних умовах, а також середнє число зіткненьмолекули за одну секунду при даних умовах.
Розв’язання
Середню довжину вільного пробігу молекул можна визначити за допомогою співвідношення (2.17):
де - ефективний діаметр молекули. Із таблиць визначаємо, що для азоту=м;
n – концентрація молекул при даних умовах.
Концентрація молекул можна зв’язати з параметрами стану газу за допомогою рівняння (2.13):
P = nkT, звідки , (2)
де Р – тиск газу; Т – термодинамічна температура; k – постійна Больцмана.
Підставимо (2) у (1)
. (3)
Перевіримо одиницю вимірювання
.
Для нормальних умов Т=273 К і Р=Па, k=Дж/К.
Обчислення.
=м.
Середнє число зіткнень кожної молекули за 1 сек. можна визначити за формулою (2.18).
, (4)
де - середня арифметична швидкість теплового руху молекул;- середня довжина вільного пробігу молекул, яку вже визначено за формулою (3).
Середню арифметичну швидкість молекул знайдемо за допомогою формули (2.15).
м/с.
Підставимо значення іу (4)
.
Відповідь: м;.
Приклад 7. Знайти енергію W обертального руху молекул, які містяться у =2 кг водню при температурі t=27.
Розв’язання
Кількість молекул, які містяться у даній масі газу, згідно з (2.2)
, (1)
де - кількість речовини, а- постійна Авогадро.
У свою чергу , де M – малярна маса.
Тоді . (2)
Так як молекула водню складається з двох атомів і має між ними жорсткий зв'язок, кількість ступенів свободи для такої молекули i=5 з них 2 припадає на обертальний рух: i=2. Середня кінетична енергія однієї молекули (2.12)
, (3)
де k – постійна Больцмана; Т – термодинамічна температура.
Тоді загальна енергія обертального руху всіх молекул
, або .
Так як , де k – газова постійна,
. (4)
Перевіримо одиницю вимірювання
.
Підставимо числові дані, зважаючи на те, що i=2; М=кг/моль; Т=27+273=300 К; R=8,31Дж/.
Дж.
Відповідь: W= Дж.
Приклад 8. Вуглекислий газ масою m=66г, який має температуру t=, ізотермічно розширюється так, що його об’єм збільшується вдвічі. Яку роботу виконує при цьому газ?
Розв’язання
Роботу, яку виконує газ, можна знайти, скориставшись формулою (2.24):
. (1)
Так як під час ізотермічного процесу тиск Р теж змінюється, виразимо тиск через об’єм газу з рівняння Менделєєва – Клапейрона (2.3):
, звідки . (2)
Підставимо (2) у (1) і виконаємо інтегрування:
. (3)
Зважаючи на те , що =m/M, маємо
.
Перевіримо одиницю вимірювання
.
З урахуванням того, що за умовою задачі і крім того
m=66г=кг;
Т=7+273=280К;
кг/моль.
одержимо
Дж=2,41 кДж.
Відповідь: А=2,41 кДж.
Приклад 9. При ізобаричному нагріванні m=6г водню з початковою температурою t=, його об’єм зріс у два рази (). Знайти: 1) роботу А газу; 2) зміну внутрішньої енергіїгазу; 3) кількість теплоти Q, яку надано газу.
Розв’язання
Робота газу при ізобаричному нагріванні (2.25):
.
Скористаємося рівнянням Менделєєва – Клапейрона, записавши його двічі: для початкового і кінцевого станів.
(1)
(2)
З (2) віднімаємо (1)
, або
. (3)
Різницю температур можна знайти з (2.26):
При Р=const ; за умовою задачі, тому. Тобто
К.
Тоді К.
Робота газу Дж =7,48 кДж.
Внутрішня енергія газу визначається за формулою (2.23).
,
Тоді зміна внутрішньої енергії , (4)
де i – кількість ступені свободи; для водню (двохатомна молекула) і=5.
Обчислення:
Дж = 18,68 кДж.
Згідно з першим началом термодинаміки (2.22)
Тому кДж.
Відповідь: А=7,48 кДж; =18,68 кДж; Q=26,16 кДж.
Приклад 10. Ідеальна теплова машина працює за циклом Карно. Температура нагрівача =400 К, охолоджувача=300 К. За кожен цикл машина отримує від нагрівача кількість теплоти=2,1 кДж. Визначити коефіцієнт корисної діїмашини і корисну роботу А, яку виконує машина за один цикл.
Розв’язання
Коефіцієнт корисної дії можна визначити або за формулою (2.29)
, (1)
або (для циклу Карно) за формулою (2.30)
(2)
Спочатку за формулою (2) знайдемо коефіцієнт корисної дії
.
Потім за формулою (1) знайдемо А.
=525 Дж.
Відповідь: =25%; А=525 Дж.
Приклад 11. m=10г водню ізобарично нагрівають від до. Знайти зміну ентропії газуу цьому процесі.
Розв’язання
Згідно з (2.31) зміна ентропії визначається за формулою
, (1)
де і- значення ентропії відповідно у кінцевому і у початковому станах;- кількість теплоти, яку отримує газ у елементарному процесі; Т – термодинамічна температура, при якій відбувалась теплопередача.
При ізобаричному процесі
, (2)
де - молярна теплоємність водню при ізобаричному нагріванні;- кількість речовини; dT – збільшення температури.
У свою чергу
, (3)
де i – ступені свободи молекул (для водню i=5); R – газова стала. R=8,31.
, (4)
де m – маса газу; M– молярна маса газу. Для водню M=кг/моль.
Підставимо (2), (3), (4) у (1) і виконаємо інтегрування:
.
Виразимо температури іу кельвінах (К):
К; 327+273=600 К.
Обчислення.
100 Дж/К.
Відповідь: =100 Дж/К.
Приклад 12. Коефіцієнт внутрішнього тертя азоту при нормальних умовах дорівнює =1,78. Знайти коефіцієнт дифузії азоту D при цих умовах.
Розв’язання
Скористаємося формулами для коефіцієнтів D і (2.35):
(1)
(2)
де - середня арифметична теплового руху молекул;- середня довжина вільного пробігу молекул;- густина газу.
З порівняння (1) і (2) випливає, що
=D. (3)
Таким чином, для знаходження коефіцієнту дифузії азоту треба знайти його густину при нормальних умовах. З цією метою скористаємося рівнянням Менделєєва – Клапейрона (2.3):
(4)
За визначенням густина речовини =m/V, тому виразимо звідси m і підставимо у (4):
,
звідки . (5)
Тоді рівняння (3) з урахуванням співвідношення (5) має вигляд:
, звідки .
Перевіримо одиницю вимірювання.
Обчислення проводимо з урахуванням того що при нормальних умовах Р=760 мм рт. ст. = Па; Т=+273=273 К;
R=8,31 Дж/; M=28кг/моль.
Відповідь: В=1,44.
Приклад 13. Яка частина молекул азоту при температурі t=має швидкості від=300м/с до=310м/с?
Розв’язок
Розподіл молекул по швидкостям має вигляд (2.36):
, (1)
де – відносна швидкість. Вона дорівнює
де - швидкість молекули;- найбільш імовірна швидкість молекул. За формулою (2.16)
У нашому випадку
м/с.
Тоді, ;;;
і формула (1) дає:
Відповідь: =0,64%.
Приклад 14. На якій висоті h атмосферний тиск Р складає 50% від тиску на рівні моря? Температуру вважати постійною і рівною t=, молярну масу для повітря вважати рівною M=0,029 кг/моль.
Розв’язання
Залежність атмосферного тиску від висоти над рівнем моря представлена барометричною формулою (2.37):
, (1)
де Р – тиск на висоті h; - тиск на рівні моря; M– молярна маса повітря; g=9,8- прискорення сили тяжіння; R=8,31 Дж/- газова постійна; Т – теплодинамічна температура.
Поділимо обидві частини рівняння (1) на Р:
, звідки .
За умовою задачі =2, тому. (2)
Логарифмуємо вираз (2): звідки
. (3)
Перевіримо одиницю вимірювання.
.
Підставимо у (3) числові дані:
м =5,53 км.
Відповідь: h=5,53 км.
Приклад 15. Дві краплині ртуті радіусом r=1 мм кожна, зливаються в одну. Скільки теплоти Q при цьому виділяється?
Розв’язання
Кількість теплоти Q дорівнює енергії , яка звільнюється тому, що зменшилося площа поверхні. Цю енергію можна знайти з формули (2.41):
, (1)
де - коефіцієнт поверхневого натягу ртуті;- площа, на яку зменшилась поверхня однієї краплі порівняно з площею поверхні двох попередніх.
, (2)
де r – радіус маленької краплі; R – радіус великої краплі.
Радіус великої краплі можна знайти з тих міркувань, що об’єм великої краплі повинен дорівнювати двом об’ємам малої краплі.
; звідки .
Підставимо у (2):
.
Тоді
.
Перевіримо одиницю вимірювання:
.
Коефіцієнт поверхневого натягу для ртуті знаходимо з таблиць.
=0,5 Н/м.
Обчислення.
Дж = 2,57 мкДж.
Відповідь: Q=2,57 мкДж.