4.3.3 Принцип балансировки

Разбиение задачи на подзадачи равных размеров с целью поддержания равновесия - основной руководящий принцип при разработке эффективного алгоритма. Балансировка полезна не только при использовании приема “разделяй и властвуй”; например, эффективные алгоритмы получаются в результате балансировки размеров поддеревьев, а также весов двух операций.

Рассмотрим задачу расположения целых чисел в порядке неубывания. Простейший способ сделать это - найти наименьший элемент, исследуя всю последовательность и затем меняя местами наименьший элемент с первым. Процесс повторяется на остальных n-1 элементах, и это повторение приводит к тому, что второй наименьший элемент оказывается на втором месте. Повторение процесса на остальных n-2, n-3,..., 2 элементах сортирует всю последовательность (этот процесс известен под названием “сортировка простым выбором“). Этот алгоритм приводит к рекуррентным уравнениям

для числа сравнений, произведенных между сортируемыми элементами. Решением этих уравнений служит Т(n)=n(n-1)/2, что составляет О(n²).

Хотя этот алгоритм можно считать рекурсивным применением приема “разделяй и властвуй”, он не эффективен для больших n, поскольку задача разбивается на неравные части (одна подзадача имеет размер i, а другая - n-i, где i - номер шага процесса решения задачи). Эффективнее будет решение, если разбить задачу на две подзадачи c размерами примерно n/2. Это выполняется методом, известным как сортировка слиянием.

Рассмотрим последовательность целых чисел х₁, х₂,..., х_n. Снова предположим для простоты, что n - степень числа 2. Один из способов упорядочить эту последовательность - разбить ее на две подпоследовательности х₁, х₂, ... , х_n/2 и x_n/2+1, ... , х_n, упорядочить каждую из них и затем слить их. Под “слиянием” понимают объединение двух уже упорядоченных последовательностей в одну упорядоченную последовательность.

Алгоритм 4.4. Сортировка слиянием

ВХОД. Последовательность чисел х₁, x_2,..., х_n, где n - степень числа 2.

ВЫХОД. Последовательность чисел у₁, y₂,..., у_n, которая является перестановкой входа и удовлетворяет неравенствам y₁y₂...y_n .

МЕТОД. Применим процедуру MERGE(S, Т) (merge - слияние), входом которой служат две упорядоченные последовательности S и Т, а выходом - последовательность Q элементов из S и Т, расположенных в порядке неубывания. Поскольку S и Т упорядочены, MERGE требует сравнений не больше, чем сумма длин S и Т без единицы (|S| + |T| -1). Работа этой процедуры состоит в выборе большего из наибольших элементов, остающихся в S и Т, и в последующем удалении выбранного элемента и перезаписи его в Q. В случае совпадения можно отдавать предпочтение последовательности S. Кроме того, применяется процедура SORT(i, j) (см. ниже), сортирующая подпоследовательность x_i, x_i+1, ... , x_j в предположении, что она имеет длину 2^k для некоторого k0. Для сортировки исходной последовательности вызывается процедура SORT(1, n).

procedure SORT(i, j)

if i=j then return x_i

else

begin

m(i+j-1)/2;

return MERGE(SORT(i, m), SORT(m+1, j))

end.

Подсчёт числа сравнений в алгоритме 4.4 приводит к рекуррентным уравнениям

решением которых по теореме 4.1 является Т(n)=О(nlog₂n). Для больших n сбалансированность размеров подзадач даёт значительную выгоду. Аналогичный анализ показывает, что общее время работы процедуры SORT, затрачиваемое не только на сравнение, также есть О(nlog₂n).