теория вероятности
.pdf
Гипергеометрическое распределение
Имеется N объектов. Из них n объектов обладают требуемым свойством. Из общего количества отбирается m объектов. Случайная величина X - число объектов из m отобранных, обладающих требуемым свойством. Для вычисления вероятностей используются биномиальные коэффициенты . Закон распределения имеет вид:
xi |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
….. |
|
k |
…. |
||||
pi |
|
Cn0CNm n |
|
Cn1CNm 1n |
|
Cn2CNm n2 |
….. |
|
Cnk CNm nk |
…. |
||||
|
|
CN0 |
|
|
C1N |
|
|
CN2 |
|
|
|
CNm |
|
|
Пример Среди 20 книг, стоящих на полке, 8 книг по математической статистике. Случайная величина X - число книг по математике из четырёх случайно взятых с этой полки книг. Составить ряд распределения, найти функцию распределения, построить её график и найти все числовые характеристики.
Решение
Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.
C124
P(0)= C204 =(12!16!4!)/(4!8!20!)=(9·10·11·12)/(17·18·19·20)≈0,102167
C 3 |
C1 |
|
|
|
|
|
12 |
8 |
C204 |
|
|
|
|
P(1)= |
|
=(12!·8·16!4!)/(3!9!20!)=(10·11·12·8·4)/(17·18·19·20)≈0,363261 |
||||
C 2 |
C 2 |
|
|
|
|
|
12 |
8 |
C204 |
|
|
|
|
P(2)= |
|
≈0,381424 |
|
|||
C1 |
C3 |
|
|
|
|
|
12 |
8 |
C204 |
|
|
|
|
P(3)= |
|
≈0,138700 |
|
|||
C84 |
C204 |
|
|
|
|
|
P(4)= |
≈0,014448 |
|
|
|||
Ряд распределения: |
|
|
||||
xi| 0 |
| |
|
1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
------------------------------------------------
pi|0,1022|0,3633|0,38143|0,13873|0,0145
Функция распределения - это вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x. Её значения находим суммированием вероятностей.
При x ≤ 0 F(X) = 0
При 0 ≤ x ≤ 1 F(X) = 0,102167
При 1 ≤ x ≤ 2 |
F(X) = 0,102167 + 0,363261 = 0,465428 |
|
При 2 ≤ x ≤ 3 |
F(X) = 0,465428 + 0,381424 = 0,846852 |
|
При 3 ≤ x ≤ 4 |
F(X) = 0,846852 + 0,138700 = 0,985552 |
|
При |
x ≥ 4 |
F(X) = 0,985552 + 0,014448 = 1 |
|
0 |
x 0 |
0.102167 |
0 x 1 |
|
|
|
1 x 2 |
0.465428 |
||
F(x) |
|
2 x 3 |
0.846852 |
||
0.985552 |
3 x 4 |
|
|
1 |
x 4 |
|
||
|
|
|
M(X) = 0·0,1022 + 1·0,3633 + 2·0,38143 + 3·0,13873 + 4·0,0145 = 1,6
D(X) = 0 2·0,1022 + 1 2·0,3633 + 22·0,38143 + 32·0,13873 + 42·0,0145 - 1,62 ≈ ≈ 0,808421 σ(Х) ≈ 0,899
Распределение Пуассона
Пусть имеется некоторая последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (будем называть это потоком событий). Интенсивность потока (среднее число событий, появляющихся в единицу времени) равна λ. Пусть этот поток событий - простейший (пуассоновский), т.е. обладает тремя свойствами:
1)вероятность появления k событий за определённый промежуток времени зависит только от длины этого промежутка, но не от точки отсчёта, другими словами, интенсивность потока есть постоянная величина (свойство стационарности);
2)вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись события в прошлом или нет (свойство «отсутствия последействия»);
3)появление более одного события за малый промежуток времени практически невозможно (свойство ординарности).
Вероятность того, что за промежуток времени t событие произойдёт k раз, равна
Pt (k) ( t)k e t k!
Пример : Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 мин, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин. поступит:
а) три вызова; б)менее трёх вызовов;
в)не менее трёх вызовов. Поток вызовов - простейший.
Решение:
Используем формулу Пуассона. λ = 2, t = 4. P(0) = 80/0!·e -8 = e-8 ≈ 0,000335
P(1) = 81/1!·e -8 = 8e-8 ≈ 0,002684
P(2) = 82/2!·e -8 = 32e-8 ≈ 0,010735 P(3) = 83/3!·e -8 = 85,33e-8 ≈ 0,014313
а) P(k=3) = 0,014313
б) P(k<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,013754
в) P(k≥3) = 1 - P(k<3) = 1 - 0,013754 = 0,986246
Непрерывная случайная величина, интегральная и дифференциальная функции распределения.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любые значения из некоторого заданного интервала, например, время ожидания транспорта, температура воздуха в каком-либо месяце, отклонение фактического размера детали от номинального, и т.д. Интервал, на котором она задана, может быть бесконечным в одну или обе стороны.
Плотность вероятности непрерывной случайной величины, она же дифференциальная функция распределения вероятностей - аналог закона распределения дискретной случайной величины. Но если закон распределения дискретной случайной величины графически изображается в виде точек, соединённых для наглядности ломаной линией (многоугольник распределения), то плотность вероятностей графически представляет собой непрерывную гладкую линию (или кусочно-гладкую, если на разных отрезках задаётся разными функциями). Аналитически задаётся формулой.
Если закон распределения дискретной случайной величины ставит каждому значению x в соответствие определённую вероятность, то про плотность распределения такого сказать нельзя. Для непрерывных случайной величины можно найти только вероятность попадания в какой-либо интервал. Считается, что для каждого отдельного (одиночного) значения непрерывной случайной величины вероятность равна нулю. И графически вероятность попадания в интервал выражается площадью фигуры, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу осью ОХ, с боков - рассматриваемым интервалом.
Свойства плотности вероятности:
1)Значения функции неотрицательны, т.е. f(x)≥0
2)Основное свойство плотности вероятности: несобственный интеграл от плотности вероятности в пределах от -∞ до +∞ равен единице (геометрически это выражается тем, что площадь фигуры, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу - осью OX, равна 1).
f (x)dx 1
Функция распределения случайной величины, она же интегральная функция распределения вероятностей - это функция, определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина (ξ) примет значение меньшее, чем x: F(x) = P(ξ < x). Численно функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу осью ОХ, с боков - рассматриваемым интервалом.
Основные свойства:
1)Значения функции распределения лежат в интервале [0; 1], т.е. 0 ≤ F(X) ≤ 1
2)Это функция неубывающая, при x→-∞ F(X)→0, при x→+∞ F(X)→1
3)Вероятность попадания в интервал (a, b) определяется формулой F(b) - F(a)
Взаимосвязь интегральной и дифференциальной функций распределения вероятностей
x
f(x) F ' (x); F (x) f (x)dx
ЛЕКЦИЯ 10.
Пример. Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения. Требуется построить графики плотности вероятности и функции распределения, определив предварительно параметр A.
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Acos x при |
|
|
|
|
2 |
||||
f (x) |
0 при |
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Используем основное свойство плотности вероятности:
f (x)dx 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)) A(1 |
|
Acos xdx Asin x |
|
2 |
A(sin |
sin( |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A 0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0.5cos x при |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
f (x) |
|
0 при |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x) f (x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При x |
|
F (x) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|||
|
x |
|
F(x) 0dx 0.5 cos xdx 0.5sin x |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
При |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При x |
F(x) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
F(x) 0.5(sin x 1) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
при |
|
x |
|
||
|
2 |
||||
при |
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
при |
|
x |
|
||
|
2 |
||||
( 1)) 2A 1
x |
|
0.5(sin x 1) |
|
2 |
|
Примеры некоторых непрерывных распределений
|
|
|
|
|
|
Нормальное распределение |
Нормальное распределение имеет плотность вероятности |
||||||
f (x) |
|
1 |
|
e |
( x a)2 |
|
|
|
2 2 |
||||
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
, где a - математическое ожидание, σ - среднее |
|||
|
|
|
|
|||
квадратическое отклонение.
Значения плотности нормального распределения для конкретного числового значения x можно вычислить в Excel с помощью формулы =НОРМРАСП(x;a;σ;0). Если a = 0, σ = 1, то такое нормальное распределение называется стандартным. Значения плотности стандартного нормального распределения можно посмотреть в таблице или вычислить в Excel с помощью формулы =НОРМРАСП(x;0; 1;0)
График нормального распределения имеет куполообразную форму, он симметричен относительно своего математического ожидания, а на степень его островершинности влияет величина среднего квадратичного отклонения σ.
Интегральная функция нормального распределения вероятностей:
|
1 |
|
x |
|
( x a)2 |
|
F (x) |
|
e |
2 2 |
|||
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Интегральная функция распределения вероятностей показывает вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем x: F(x) = P(ξ < x). Численно она равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу осью OX, на интервале от -∞ до x.
Равномерное распределение
Плотность вероятности равномерного распределения сохраняет на интервале (a, b) постоянное значение, вне этого интервала плотность вероятности равна нулю. Исходя из основного свойства плотности вероятности,
f(x) = 1/(b-a) на интервале (a;b).
Интегральную функцию распределения (вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем x) находим как интеграл от -∞ до x от плотности вероятности: F(x) = (x-a)/(b-a)
Графики плотности вероятности и функции равномерного распределения:
Математическое ожидание равномерного распределения: M(X) = (a + b)/2 Дисперсия равномерного распределения: D(X) = (b - a)2 /12
Среднее квадратичное отклонение равномерного распределения: σ(X) = (b - a)/(2√3)
Показательное распределение.
Говорят, что случайная величина X имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром λ > 0, если она непрерывна, принимает только положительные значения, и имеет плотность распределения
f (x) e x
при 0 x .
Функция распределения: F(x) 1 e x
1
Математическое ожидание:
1
Дисперсия: 2
1
Среднеквадратическое отклонение: