теория вероятности

0,001-0,0001).

Пример. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию дано: n 1000; p  0.002;  np  2;k  3.

Пример. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение. По условию дано: n  500; p  0.004;  np  2 .

По теореме сложения вероятностей:

P  P500 (0) P500 (1) P500 (2)  e 2 12! e 2 24!e 2  5e 2  0.68

Пример. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение. По условию дано: n 1000; p  0.003;  np  3 .

P1000 (k  2) 1 P1000 (k  2) 1 (P1000 (0) P1000 (1) P1000 (2)) 

Получаем: 1 (e 3 3e 3 4.5e 3 )  0.5678

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) имеет вид:

np q  k  np p

Так как np q  np p 1, то эти границы отличаются на 1. Поэтому k , являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда np

целое число (k  np ) , то есть когда np p (а отсюда и np q ) нецелое число, либо два значения, когда np q целое число.

Пример. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий

ЛЕКЦИЯ 7.

Cлучайные величины.

Мы рассматривали события, состоящие в появлении того или другого числа. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1,2,3,4,5,6. Заранее определить число выпавших очков невозможно, так как это зависит от многих случайных причин, которые полностью нельзя учесть. В этом смысле число выпавших очков это случайная величина, а числа 1,2,3,4,5,6 возможные значения этой величины.

Определение: Случайной называют величину, которая в результате испытание примет одно и только одно возможное значение, заранее не известное и зависшее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Будем обозначать случайные величины прописными буквами X ,Y, Z , а их возможные значения соответствующими строчными буквами - x, y, z . Например, если случайная величина X имеет три возможных значения то они

обозначаются x1 , x2 , x3 .

Случайные величины отличаются по тому, какие значения они могут принимать.

Определение: Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные значения с определенной вероятностью. Число возможных значений дискретной случайной величины может конечным или бесконечным.

Определение: Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Числовые характеристики случайных величин.

При решении практических задач достаточно знать несколько числовых

параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины

этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с

3 математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо:

M(ax + bh ) = a* M(x )+ b* M(h );

4математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(x* h ) = M(x )*M(h ).

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx )2.

Легко показать, что Dx = M(x - Mx )2= Mx2 - M(x )2.

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx2 для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

Основные свойства дисперсии:

5 дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx  0;

6 дисперсия константы равна нулю, Dc=0;

7 для произвольной константы D(cx ) = c2 D(x );

8дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x ± h ) = D(x ) + D (h ).

Для определения меры разброса значений случайной величины часто

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Решение: Случайная величина непрерывная. Тогда

ЛЕКЦИЯ 8.

Законы распределения случайных величин.

Дискретная случайная величина, закон и функция распределения

Дискретной называют случайную величину, значения которой изменяются не плавно, а скачками, т.е. могут принимать только некоторые заранее определённые значения. Например, денежный выигрыш в какой-нибудь лотерее, или количество очков при бросании игральной кости, или число появления события при нескольких испытаниях. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счётным множеством)

Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой перечень всех её возможных значений и соответствующих вероятностей.

задан аналитически (формулой) и графически (многоугольником распределения)

Функция распределения случайной величины - это вероятность того, что случайная величина (назовём её ξ) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x: F(X) = P(ξ < X).

Для дискретной случайной величины функция распределения вычисляется для каждого значения как сумма вероятностей, соответствующих всем предшествующим значениям случайной величины.

Некоторые дискретные распределения

Равномерное дискретное распределение

В теории вероятностей случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, если она принимает конечное число значений с равными вероятностями.

Равномерное распределение на отрезке числовой прямой (прямоугольное распределение). Равномерное распределение на каком-либо

отрезке [ а, b], а<b, - это распределений вероятностей, имеющее плотность

Понятие равномерное распределение на [ а, b] соответствует представлению о случайном выборе точки на этом отрезке "наудачу". Математичекое ожидание и дисперсия равномерное распределение равны, соответственно, (b+a)/2 и (b-а)2/12. Функция распределения задается формулой

0 x  a

Биномиальное распределение

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события постоянна. Вероятности pi вычисляют по формуле Бернулли:

Для биномиального распределения:

9 математическое ожидание M(X) = np,

10 дисперсия D(X) = npq

Пример: Построить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при трех бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0,6. Найти среднее число попаданий и дисперсию.

Решение: Случайная величина Х – число попаданий в корзину при трёх бросках. Соответствующие вероятности найдём по формуле Бернулли.

Контроль: 0,064 + 0,288 + 0,432 + 0,216 = 1 Математическое ожидание:

=0,72

Или: D (X) = npq = 3 · 0,6 · 0,4 = 0,72 Среднее квадратическое отклонение: σ(Х) = √D(X) ≈ 0,85

Геометрическое распределение

Производится серия испытаний. Случайная величина - количество испытаний до появления первого успеха (например, бросание мяча в корзину до первого попадания). Закон распределения имеет вид:

Если количество испытаний не ограничено, т.е. если случайная величина может принимать значения 1, 2, ..., ∞, то математическое ожидание и дисперсию геометрического распределения можно найти по формулам M(X) = 1/p, D(X) = q/p2

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6 при каждом выстреле. С.в. X - число возможных выстрелов до первого попадания.

а) Составить ряд распределения, найти функцию распределения, построить её график и найти все числовые характеристики.

б) Найти математическое ожидание и дисперсию для случая, если стрелок намеревается произвести не более трёх выстрелов.

Решение.

а) Случайная величина может принимать значения 1, 2, 3, 4,..., ∞ P(1) = p = 0,6

P(2) = qp = 0,4 · 0,6 = 0,24 P(3) = q 2 p = 0,42 · 0,6 = 0,096

...

P(k) = q к-1p = 0,4k-1 · 0,6

...

-----------------------------------------

pi| 0,6 | 0,24|0,096| ... |0,4 к-1 · 0,6| ...

Контроль: Σpi = 0,6/(1-0,4) = 1 (сумма геометрической прогрессии) Функция распределения - это вероятность того, что с.в. Х примет

значение меньшее, чем конкретное числовое значение х. Значения функции распределения определяем суммированием вероятностей.

Если x ≤ 1, то F(x) = 0 Если 1 < x ≤ 2, то F(x) = 0,6

Если 2 < x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84 Если 3 < x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936

...

Если k-1 < x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4 к-1)/(1-0,4) = 1-0,4 к-1 (частичная сумма геометрической прогрессии)

0 x 1

0.6 1  x  2

0.24 2  x 3

M(X) = 1/p = 1/0,6 ≈ 1,667 D(x) = q/p 2 = 0,4/0,36 ≈ 1,111 σ(Х) = √D(X) ≈ 1,054

б) Случайная величина может принимать значения 1, 2, 3. P(1) = p = 0,6

P(2) = qp = 0,4 · 0,6 = 0,24

P(3) = q 2p + q 3 = 0,42 · 0,6 + 0,43 = 0,16

Ряд распределения:

xi| 1 | 2 | 3

-------------------

pi| 0,6 | 0,24|0,16

Контроль: Σpi = 0,6 + 0,24 + 0,16 = 1

Функция распределения.