1) ; 2);

3) .

Розв’язання

1) Безпосередній підрахунок границі дає невизначеність . Виконуємо тотожні перетворення у чисельнику та знаменнику:

.

Степені многочленів у чисельнику та знаменнику однакові і дорівнюють , тому розділимо чисельник і знаменник на:

.

Зазначимо, що границя відношення двох многочленів дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях .

2) Безпосередній підрахунок границі дає невизначеність . Помножимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений до чисельника:

.

Степені чисельника і знаменника однакові і дорівнюють , тому розділимо чисельник і знаменник на:

.

3) Безпосередній підрахунок границі дає невизначеність . Виділимо цілу частину дробу:

.

Помножимо і поділимо показник степеня на вираз, обернений до дробу

.

Користуючись визначною границею , маємо

.

Задача 17. Обчислити границі функцій, користуючись визначними границями та наслідками з них.

1) ; 2); 3).

Розв’язання

1) Безпосередній підрахунок границі дає невизначеність . Розкладемо чисельник і знаменник на множники. Маємо

.

2) Безпосередній підрахунок границі дає невизначеність.З відомих еквівалентностейтапривипливаєпри. Далі зазначимо, що з еквівалентностіпри випливаєпри. Застосовуючи одержані результати, основні теореми про границі та беручи до уваги, що, маємо

.

У ході розв’язання прикладу ми використали можливість заміни нескінченно малих множників на еквівалентні їм нескінченно малі.

3) Перейдемо від показниково – степеневої функції до елементарної:

.

Обчислимо границю показника, виконуючи заміну змінної:

.

Користуючись еквівалентностями ,при, маємо

.

Отже, .

Задача 18. Знайти точки розриву функції

якщо вони існують, та визначити їхній характер. Побудувати схематично графік функції.

Розв’язання

Точками розриву функції можуть бути лише точки та. Обчислимо односторонні границі даної функції у цих точках:

, ,;

, ,.

Точка є точкою неперервності функції, оскільки у цій точці односторонні границі скінченні, збігаються та дорівнюють значенню функції в точці. Точкає точкою розриву першого роду, оскільки у цій точці односторонні границі скінченні, але не рівні між собою.

Побудуємо схематично графік функції.

31