Зразок розв’язання індивідуальних домашніх завдань

Задача 1. Виконати дії. Представити результат в алгебраїчній формі

.

Решение

Обчислимо спочатку

.

Тоді маємо:

.

Задача 2. Виконати дії Представити результат у показниковій та алгебраїчній формі

.

Решение

Знайдемо модулі та аргументи комплексних чисел

,

,

.

Запишемо всі числа у показниковій формі:

.

Подальші дії виконаємо у показниковій формі. Для переходу до алгебраїчної форми скористаємось формулою Ейлера:

.

Задача 3. Обчислити всі значення та побудувати їх на площині комплексного змінного.

Решение

Обчислимо модуль та аргумент комплексного числа :

.

Скористаємось формулою для обчислення кореня з комплексного числа

.

Одержимо

.

Знайдемо чотири значення кореня:

, ,

,

.

Всі значення лежать на одиничному колі з центром к нульовій точці та поділяють його на чотири рівні частини.

Задача 4. Побудувати на площині комплексної змінної множину точок, які задовольняють умові .

Решение

Для одержання даної умови у декартових координатах підставимо у ліву частину нерівності. Маємо:

.

Задана умова приймає вигляд

або .

Виділяючи повний квадрат за змінною ,одержимо:

.

Шукана множина є одиничним колом з центром у точці .Побудуємо його на малюнку.

Задача 5. Розв’язати рівняння

Розв’язання

Будемо шукати цілі корені рівняння. Це можуть бути лише дільники вільного члена рівняння. Вільний член 2 поділяється . Підставляючи ці числа по черзі у рівняння знайдемо його перший корінь . Розділимо многочлен на , тобто на:

Далі розв’яжемо квадратне рівняння . Знайдемо

.

За формулою коренів квадратного рівняння:

.

Отже корені даного рівняння .

Задача 6. Написати розкладання вектора =по векторах=,=та=.

Розв’язання

Вектор допускає розкладання по векторах,, , якщо ці вектори лінійно незалежні, тобто якщо їхній мішаний добуток не дорівнює нулю:

Розкласти вектор по векторах ,та –це значить представити його у вигляді лінійної комбінації цих векторів, тобто , де,та– коефіцієнти розкладання. У нашому випадку будемо мати рівняння:

.

Два вектори, що задані своїми координатами , рівні тоді і лише тоді, коли дорівнюють їхні однойменні координати. Зрівнявши відповідні координати, одержимо систему:

З першого рівняння знаходимо і підставляємо в друге та третє:

Додаючи друге та третє рівняння, одержимо , звідки.

З третього рівняння виразимо , отже.

Таким чином, розкладання вектора по векторах ,,має вигляд:

.

Задача 7. Задані координати точок . Знайти кут між векторами та .

Розв’язання

Обчислимо координати векторів тата їхні довжини

,

.

Знайдемо скалярний добуток:

.

Обчислимо значення косинуса кута між векторами:

.

Задача 8. Обчислити проекцію вектора на вектор та скалярний добуток цих векторів, якщо .

Розв’язання

Обчислимо спочатку довжини векторів та

,

та їхній скалярний добуток:

.

Далі обчислимо скалярний добуток векторів та :

.

Знайдемо координати вектора :

та обчислимо його довжину:

Проекцію вектора на вектор знайдемо за формулою:

.

Задача 9. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах та , якщо .

Розв’язання

Користуючись властивостями векторного добутку, обчислимо площу паралелограму як модуль векторного добутку векторів та:

.

Задача 10. Обчислити об’єм трикутної піраміди з вершинами ,,,та її висоту, проведену з вершини на грань.

Розв’язання

Знайдемо координати векторів ,іта їх мішаний добуток:

.

Об’єм трикутної піраміди обчислимо за формулою

.

Знайдемо векторний добуток векторів, які визначають основу піраміди:

.

Обчислимо площу трикутника як половину площі паралелограма, побудованого на векторах та :

.

Довжину висоти піраміди знайдемо з формули її об’єму , звідки

.

Задача 11. Задані точки A(-8,4) і B(16,22). Скласти рівняння прямої АВ та рівняння перпендикулярної до AB прямої, що проходить через середину відрізку АВ.

Розв’язання

Рівняння прямої, що проходить через дві точки і:

За умовою задачі одержимо

.

Напрямний вектор цієї прямої .

Координати точки , що лежить усередині відрізка між точкамита, обчислимо за формулами:

Підставимо у формулу значення координат точок А і В. Тоді:

Вектор є нормальним вектором прямої перпендикулярної до прямоїАВ.Отже, рівняння цієї прямої має вигляд

або .

Задача 12. Звести рівняння кривої до канонічного вигляду та побудувати криву, яка задана рівнянням .

Розв’язання

Виділимо повні квадрати по змінним та: