§9 Экстремум функции двух переменных

Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. ТочкаM₀(x₀;y₀)- внутренняя точка областиD.

Если в Dприсутствует такая окрестностьUM₀точкиM₀, что для всех точек

то точка M₀называется точкой локального максимума. А само значениеz(M₀)- локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M₀называется точкой локального минимума функцииz(x,y). А само значениеz(M₀)- локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума:M₀- точка максимума, так как на поверхностиz =z (x,y)соответствующая ей точкаC₀находится выше любой соседней точкиC(в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся вышеC₀, но эти точки (например,В) не являются "соседними" с точкойC₀.

В частности, точке Всоответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.

Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D. ТочкаM₀(x₀;y₀D- точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z'_xиz'_y, то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C₀на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом0°к осиОхи к осиОу.

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Определение 1.12.

Если в точке M₀выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функцииz (x,y).

Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точкиM₀(x₀,y₀)D. ПричемM₀- стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Если:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.

Пример 1.13.

Исследовать на экстремум:

Решение

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки. 2.

по теореме 1.4 в точке – минимум. Причём

по теореме 1.4 в точке

- максимум. Причём

§10 Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Теорема 1.5 Пусть в замкнутой области Dзадана функция z=z(x,y), имеющая непрерывные частные производные первого порядка. ГраницаГобластиDявляется кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в областиDфункцияz(x,y)достигает своего наибольшегоMи наименьшегоmзначений.

Без доказательства.

Можно предложить следующий план нахожденияMиm. 1. Строим чертёж, выделяем все части границы областиDи находим все "угловые" точки границы. 2. Находим стационарные точки внутриD. 3. Находим стационарные точки на каждой из границ. 4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшееMи наименьшееmзначения.

Пример 1.14 Найти наибольшее Mи наименьшееmзначения функцииz = 4x2-2xy+y2-8xв замкнутой областиD, ограниченной:x = 0, y = 0, 4x+3y=12.

Решение

1. Построим область D(рис. 1.5) на плоскостиОху.

Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0).

Граница ГобластиDсостоит из трёх частей:

2. Найдём стационарные точки внутри области D:

3. Стационарные точки на границах l₁, l₂, l₃:

4. Вычисляем шесть значений:

Из полученных шести значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: