Вычисление геодезических координат точек по плоским прямоугольным координатам Гаусса-Крюгера
О
бщий
путь решения сводится к определению по
известной абсциссех
широты В0
основания изображения плоской ординаты
на поверхности эллипсоида и разности
широт (В0
-
В), где В
– искомая
широта заданной точки. Затем вычисляется
разность долгот (L
- L0
=
l)
меридиана данной точки и осевого
меридиана зоны.
Широта В и долгота L вычисляются по формулам:
Разность широт и долгот вычисляются по формулам:
где:
N0 , M0 - радиусы кривизны первого вертикала и меридиана в точке с широтой В0;
широта В0 определяется по таблицам по значению абсциссы Х;
;
Для вычисления геодезических координат по плоским прямоугольным координатам Гаусса-Крюгера на ЭВМ можно использовать формулы:
где:
;
;
;
;
;
;
;
.
Эти формулы можно
использовать для любого Земного
эллипсоида. Так как коэффициенты
иn
зависят только от размеров полуосей
эллипсоида a
и b
их можно определить заблаговременно.
n
=
0,001678979; α
= 6367558,4969; β = 0,002518465; γ = 3,69989E-06;
δ
= 7,41872E-09 ; ε = 1,70262E-11.
Контроль вычислений на ЭВМ для поверхности референц-эллипсоида Красовского можно произвести по преобразованным формулам:
где
Вычисление плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера по геодезическим координатам точек
При известных значениях геодезических координат точек на поверхности земного эллипсоида (B, L) плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера (х, у) вычисляются по формулам:
где Х – длина дуги меридиана от экватора до точки с широтой В
N – радиус кривизны первого вертикала в точке с широтой В;
разность между
долготой данной точки и долготой осевого
меридиана координатной зоны.
Длина дуги меридиана от экватора до точки вычисляется по формуле:
где:
Длину дуги меридиана от экватора до точки можно также вычислить по формуле:
,
где:
Вычисление плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера по геодезическим координатам точек можно произвести также по формулам:
где: ;
При вычислении на ЭВМ плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера по геодезическим координатам точек на поверхности референц-эллипсоида Красовского используют формулы:
где вспомогательные коэффициенты вычисляются по формулам:
При массовых преобразованиях этот способ довольно трудоёмок, поэтому для его применения целесообразно использовать ЭВМ.
Преобразование координат из одной зоны в другую путём непосредственного перехода от прямоугольных координат к прямоугольным.
Этот способ проще первого и требует значительно меньше вычислительного труда, но для его применения необходимы заранее составленные таблицы, специально предназначенные для данного преобразования. Один из вариантов таких таблиц представлен в приложении.
Формулы для преобразования с использованием этих таблиц:
В этих формулах переменная часть представляет гармонические полиномы, которые вычисляются в следующем порядке:
Постоянные коэффициенты Dn1 и Dn2 являются функциями коэффициентов an и bnи разности долгот меридиановl0. Коэффициенты an и bn определяются по формулам:
Формулы для вычисления постоянных коэффициентов Dn1 и Dn2 выбир для заранее выбранной широты В0 :
По этим формулам вычислена таблица постоянных коэффициентов для преобразования плоских конформных координат Гаусса-Крюгера при переходе от одного осевого меридиана к другому, когда разность долгот осевых меридианов равна l0 = 6˚.
Коэффициенты вычислены для различных широт В0 от 30 до 70˚ с интервалом 2˚. Эти таблицы позволяют перевычислять координаты любой точки расположенной в соседней шестиградусной зоне. Следовательно три шестиградусных зоны можно превратить в одну 18-градусную зону с осевым меридианом средней зоны.
Погрешность перевычисления координат не превышает 0,005 м независимо от расположения точки в пределах одной шестиградусной зоны.
Последовательность действий при перевычислении координат с помощью таблицы:
Предварительно определяют строку, в которой значение Х0 является ближайшей меньшей величиной по сравнению с заданной абсциссой Х.
Устанавливают значения Р1= (Х - Х0)·10-5 и Q1=у·10-5, по которым вычисляются гармонические полиномы.
После этого вычисляют координаты х´ и у´.
Для контроля координаты х´ и у´ вычисляют второй раз, используя коэффициенты, расположенные в строке с величиной Х0, которая является ближайшей большей по сравнению с абсциссой Х. Расхождение в соответствующих координатах, вычисленных дважды, не должно превышать 0,003 м.
Постоянные коэффициенты можно вычислять по приведенным формулам для любой разности долгот но не более 6˚. Необходимость в вычислении такого рода коэффициентов возникает в тех случаях, когда при составлении крупномасштабных планов и карт применяется та или иная конформная проекция, осевой меридиан которой не совпадает с каким-либо стандартным осевым меридианом проекции Гаусса-Крюгера.
Преобразование координат из одной зоны в другую с учётом поворота осей.
При преобразовании координат большого количества пунктов из одной зоны в другую с точностью порядка 0,15÷0,20 м обычно применяют способ преобразования приращений координат по формулам:
где
и
– приращения координат в первоначальной
зоне;
и
–
преобразованные приращения координат
в заданной зоне;
–угол поворота
осей двух зон;
–коэффициент
масштабирования;
–расстояние
между пунктами в исходной зоне;
–расстояние
между пунктами в заданной зоне.
Для преобразования координат по приведенным формулам необходимо иметь не менее четырёх пунктов, координаты которых известны в двух зонах. Для этого могут быть использованы координаты пунктов триангуляции или углов рамок трапеции.
Так как угол поворота осей на различных расстояниях от осевого меридиана по абсолютной величине не одинаков, то перевычисляемые пункты следует сгруппировать по трапециям масштаба 1:25000 и для каждой такой группы пунктов необходимо вычислить угол поворота осей и коэффициент масштабирования. В пределах одной трапеции масштаба 1:25000 колебания угла поворота невелики.
Пример. Даны координаты пунктов в 7-й шестиградусной зоне от осевого меридиана 39˚. Требуется перевычислить их в 12-ю трёхградусную зону от осевого меридиана 36˚.
Порядок производства вычислений:
Нанести по координатам на топографическую карту или чистый лист бумаги все заданные точки.
Определить геодезические координаты углов рамки трапеции масштаба 1:25000, в пределах которой расположены пункты, координаты которых необходимо преобразовать. Составить схему, на которой пронумеровать углы и выписать геодезические координаты углов рамки.
|
4 |
№1 |
№2 |
48° 00' 00" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47° 55' 00" |
№4 |
№3 |
47° 55' 00" |
|
37° 00' 00" |
37° 07' 30" | ||
8°
00' 00"От долгот рамок трапеций вычесть значение осевого меридиана 7-й шестиградусной зоне и получить в градусной мере расстояния углов рамок трапеции от осевого меридиана 39˚
L – L0 = 37˚00´00″– 39˚00´00″ = – 2˚00´00″
L – L0 = 37˚07´30″– 39˚00´00″ = – 1˚52´30″.
По широте и величие найти из таблиц прямоугольные координаты углов трапеции в системе координат исходной зоны. Знак разности (L– L 0) определяет знак ординаты у.
От долгот рамок трапеций вычесть значение осевого меридиана 12-й трёхградусной зоны и получить в градусной мере расстояния углов рамок трапеции от осевого меридиана 36˚
L – L0 = 37˚00´00″– 36˚00´00″ = + 1˚00´00″
L – L0 = 37˚07´30″– 36˚00´00″ = + 1˚07´30″.
По широте и величие найти из таблиц прямоугольные координаты углов трапеции в системе координат 12-й трёхградусной зоны с долготой среднего меридиана 36˚.
Полученные данные выписать на схему или отдельную таблицу:
.№ углов
Геодезические координаты
Прямоугольные координаты
широта В
долгота L
х
у
L0=39˚
1
48˚00´00″
-2˚00´00″
5320457,4
-149250,1
2
48˚00´00″
-1˚52´30″
5320222,9
-139922,3
3
47˚55´00″
-1˚52´30″
5310957,5
-140147,6
4
47˚55´00″
-2˚00´00″
5311192,0
-149490,4
L0=36˚
1
48˚00´00″
+1˚00´00″
5319005,5
+74626,2
2
48˚00´00″
+1˚07´30″
5319133,8
+83954,4
3
47˚55´00″
+1˚07´30″
5309868,0
+84089,5
4
47˚55´00″
+1˚00´00″
5309739,4
+74746,3
Вычислить дирекционные углы и длины диагоналей трапеций.
обозначения
L0=39˚
L0=36˚
1 – 3
2 – 4
1 – 3
2 – 4
Δу
+9102,5
– 9568,1
+9463,3
–9208,1
Δх
– 9499,9
– 9030,9
–9137,5
–9394,4
tgα
0,958168
1,059485
1,035655
0,980169
α
136˚13´25,7″
226˚39´16,0″
133˚59´47,6″
224˚25´34,4″
Sв м
13156,9
13157,0
13154,8
13154,6
Sконтр
13156,9
13157,0
13154,8
13154,6
Вычислить угол поворота осей. Угол поворота осей равен разности дирекционных углов одноимённых линий:
где 
– дирекционный
угол в первоначальной зоне;
–дирекционный
угол в заданной зоне.
1. 
= 136˚13´25,7″ 2.
= 226˚39´16,0″
= 133˚59´47,6″
= 224˚25´34,4″
+2˚13´38,1″
+2˚13´41,6″
+2˚13´39,8″
Вычислить коэффициент масштабирования. Коэффициент масштабирования равен отношению длин одноимённых линий в двух зонах:
1
.
2.
–расстояние
между пунктами в исходной зоне;
–расстояние
между пунктами в заданной зоне.
Для вычисления координат составляют таблицу, образец которой в приложении.
В графу 1 выписывают номера (или названия) пунктов, подлежащих перевычислению. В первой и последней строках записывают какие-либо углы трапеции, координаты которых участвовали при вычислении угла поворота осей Θ и коэффициента масштабирования К. Если для вычисления величин Θ и К были приняты координаты пунктов, то вместо координат углов трапеции выписывают два из этих пунктов.
В графы 2 и 3 записывают координаты пунктов (выписанных в графу 1) в первоначальной зоне.
В графы 12 и 13 сразу следует записать координаты исходных точек в заданной зоне (т.е. в зоне, которую производят перевычисление).
Затем сверху таблицы записывают значение угла поворота осей Θ, коэффициент форматирования К, sin Θ, cos Θ и произведения К·sin Θ и К· cos Θ.
При положительном угле поворота осей (+Θ) sin Θ и cos Θ имеют знак плюс. При отрицательном угле поворота (– Θ) sin Θ имеет знак минус, cos Θ – знак плюс.
В графу 4 записывают приращения координат Δх, вычисленные по координатам, записанным в графе 2. При вычислении приращений координат следует помнить, что вычисления выполняют в строгом порядке: всегда из абсциссы последующего пункта. В этом же порядке вычисляют приращения Δу и записывают в графу 5.
Контролем этих вычислений служат суммы приращений координат ΣΔх и ΣΔу, которые должны быть равны разностям координат исходных точек, записанных в начале и конце хода.
В графу 6 записывают произведения ΔХ·(К·cosΘ),
В графу 7 – ΔУ·(К·sin Θ); в графу 8 пишут преобразованные значения приращений ΔХ′, равные сумме величин, вычисленных в графах 6 и 7:
ΔХ′ = ΔХ·(К·cosΘ) + ΔУ·(К·sin Θ.
В графу 9 записывают произведения ΔУ· (К·cosΘ); в графу 10 –
произведение ΔХ· (К·sin Θ) с обратным знаком, так как в формуле перед этой величиной стоит знак минус.
В графу 11 пишут преобразованные значения приращений ΔУ′:
ΔУ′ = ΔУ· (К·cosΘ) +{–ΔХ· (К·sin Θ)}.
Далее подсчитывают суммы приращений ΣΔх′ и ΣΔу′ (графы 8 и 11) и результаты записывают внизу.
Теоретически ΣΔх′ и ΣΔу′ должны быть равны разностям координат начальной и конечной точек в новой зоне. Однако вследствие ошибок в величинах Θ и К суммы приращений будут отличаться от теоретических (т.е. от разности координат) на величину порядка ±0,2 м (в редких случаях
±0,3).
Полученные невязки следует распределить пропорционально приращениям Δх′ и Δу′.
Преобразованные координаты вычисляют путём алгебраического суммирования координат предыдущих пунктов с соответствующими преобразованными приращениями (аналогично вычислению координат точек теодолитного хода).
После окончания вычислений преобразованных координат для контроля берут какой-либо пункт в середине хода и его координаты преобразуют обычным путём по таблицам. Если величина расхождения не превышает ±0,15÷0,20 м, то задачу преобразования координат всех пунктов следует считать выполненной.
В прилагаемом примере для контроля преобразования по таблицам координаты пункта «СКВ.43». В результате были получены следующие координаты:
Х = 5413607,91
У= + 78048,77
После вычислений по формулам координаты этого пункта получили значения:
Х=5314607,94
У=+ 78048,78
Таким образом, расхождения составляют: в значении абсциссы 0,03; ординаты 0,01 м.