34. Полный график критических напряжений. Формула Ясинского . Условие устойчивости. Коэффициент запаса устойчивости.

Полный график критических напряжений представлен на рисунке

раницы применимости решения Эйлера. Формула Ясинского.

Как показали опыты, решение Эйлера подтверждается не во всех случаях. Причина состоит в том, что формула Эйлера была получена в предположении, что при любой нагрузке стержень работает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Следовательно, его нельзя применять в тех ситуациях, когда напряжения превосходят предел пропорциональности. В связи с этим найдем границы применимости решения Эйлера:

(30)

Из (30) следует, что напряжение возрастает по мере уменьшения гибкости стержня. Заметим, что стержень, имеющий неодинаковые опорные закрепления в главных плоскостях и, следовательно, неодинаковые приведенные длины, теряет устойчивость в той главной плоскости, в которой гибкость стержня имеет наибольшее значение.

Формула Эйлера неприемлема, если напряжения

где – предел пропорциональности. Приравнивая (30) к пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости:

Если λ > λпред , то формулу Эйлера можно применять. В противном случае ею пользоваться нельзя. Для стали Ст. 3 – l_пред = 100.

В ситуациях, когда напряжения превышают предел пропорциональности, получение теоретического решения осложняется, т.к. зависимость между напряжениями и деформациями становится нелинейной. В связи с этим, в таких случаях пользуются эмпирическими зависимостями. В частности, Ф.С. Ясинский предложил следующую формулу для критических по устойчивости напряжений:

σ_Еθ = a – bλ, (31)

где a, b – постоянные, зависящие от материала, так для стали Ст. 3 a = 3,1•10⁵ кН/м2, b = 11,4•10² кН/м2.

При гибкостях стержня, находящихся в диапазоне 0 < λ < 40,50, стержень настолько «короток», что его разрушение происходит по схеме сжатия, следовательно, критические напряжения можно приравнять в этом случае к пределу пропорциональности.

Когда формула Эйлера неприменима (за пределом упругости) для определения критической силы можно воспользоваться эмпирической формулой Ясинского П.Ф.

σ_кр = a – bλ, F_кр = σ_крA ,

Коэффициент запаса - это отношение некоторого предельного напряжения к максимальному напряжению, возникаемому в конструкции.

Максимальное напряжение в конструкции не должно превышать допускаемого напряжения для данного материала определенного с учетом коэффициента запаса для заданных условий работы.

Коэффициент запаса - число большее единицы.

35.Условие устойчивости. Три типа задач. Условием устойчивостисжатого стержня является неравенство:

Здесь допускаемое напряжение по устойчивости [σуст] — не постоянная величина, как это было в условиях прочности, а зависящая от следующих факторов:

1) от длины стержня, от размеров и даже от формы поперечных сечений,

2) от способа закрепления концов стержня,

3) от материала стержня. На основании условия устойчивости решаютсятри вида задач:

Проверка устойчивости.
Подбор сечения.
Определение допускаемой нагрузки (или безопасной нагрузки, или грузоподъемности стержня: [F]=φ[σ]А.

Наиболее сложным оказывается решение задачи о подборе сечения, поскольку необходимая величина площади сечения входит и в левую, и в правую часть условия устойчивости:

Только в правой части этого неравенства площадь сечения находится в неявном виде: она входит в формулу радиуса инерции , который в свою очередь включен в формулу гибкости, от которой зависит значение коэффициента продольного изгиба φ. Поэтому здесь приходится использовать метод проб и ошибок, облеченный в форму способа последовательных приближений:

1 попытка: задаемся φ1 из средней зоны таблицы, находим , определяем размеры сечения, вычисляем, затем гибкость, по таблице определяеми сравниваем со значениемφ1 . Если , то: