1.2 Погрешность измерений. Оценка обычных погрешностей. Оценка систематических погрешностей

Погрешность измерения - это алгебраическая разность между

полученным при измерении и истинным значением измеряемой величины.

Погрешности вызываются несовершенством приборов и методов измерений,

непостоянством условий наблюдений и т.п.

Погрешность измерения

δ = x− X

где x - измеренное значение величины;

X - истинное значение величины.

Истинное значение измеряемой величины всегда остается неизвестным из-за отсутствия идеальных методов и средств измерения, поэтому на практике вместо истинного значения применяют результат измерения, полученный с помощью более точных методов и средств и называемый действительным значением. Таким образом, и значение δ определяется с некоторым приближением к истинному.

Погрешность измерения может выражаться в единицах измеряемой

величины (абсолютная погрешность) либо в долях, процентах от ее

значения (относительная погрешность). Погрешность мер и приборов

определяют путем их поверки.

Поверка - совокупность действий с целью оценки погрешностей мер

и измерительных приборов.

Случайными называют такие погрешности, которые при измерении

одной и той же величины принимают различные значения.

Теоретические погрешности связаны с погрешностью самого метода

измерения. Так при замере объема тел их форму принимают геометрически

правильной, поэтому размеры замеряют в недостаточном количестве мест.

Субъективные погрешности являются следствием индивидуальных

качеств человека, обусловленных особенностями его органов чувств или

приобретенными неверными навыками измерений (отсчет объема в бюретке

по нижнему мениску).

Систематические погрешности при измерении одним и тем же методом и одними и теми же измерительными средствами всегда имеют постоянные значения. К причинам, вызывающим их появление, относят: - погрешности метода или теоретические погрешности; - инструментальные погрешности; - погрешности, вызванные воздействием окружающей среды и условий измерения.

Погрешности метода происходят вследствие ошибок или недостаточной разработанности метода измерений. Сюда же можно отнести неправомерную экстраполяцию свойства, полученного в результате единичного измерения, на весь измеряемый объект. Например, принимая решение о годности вала по единичному измерению, можно допустить ошибку, поскольку не учитываются такие погрешности формы, как отклонения от цилиндричности, круглости, профиля продольного сечения и др. Поэтому для исключения такого рода систематических погрешностей в методике измерений рекомендуется проведение измерений в нескольких местах деталей и взаимно-перпендикулярных направлениях.

К погрешностям метода относят также влияние инструмента на свойства объекта (например, значительное измерительное усилие, изменяющее форму тонкостенной детали) или погрешности, связанные с чрезмерно грубым округлением результата измерения.

Инструментальные погрешности связаны с погрешностями средств измерения, вызванными погрешностями изготовления или износом составных частей измерительного средства.

К погрешностям, вызванным воздействием окружающей среды и условий измерений, относят температуру (например, измерения еще не остывшей детали), вибрации, нежесткость поверхности, на которую установлено измерительное средство, и т. п.

Способы исключения и учета систематических погрешностей:

1) устранение источников погрешностей до начала измерений

(профилактика погрешностей);

2) исключение погрешностей в процессе измерения

(экспериментальное исключение погрешностей);

3) внесение известных поправок в результат измерения (исключение

погрешностей вычислением);

4) оценка границ систематических погрешностей, не поддающихся

исключению.

ОЦЕНКА СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Теория вероятности изучает свойства случайных явлений, происходящих при массовых событиях. Массовые события (измерения) происходят неоднократно при неизменных основных условиях. Источники случайных погрешностей при многократных измерениях связаны со случайными событиями.

Случайным называют событие, которое в определенных условиях может произойти или не произойти.

Достоверное событие – которое обязательно наступает;

Невозможное событие – которое ни в одном из данных опытов произойти не может. (например – наличие минерала алита – достоверное событие; отсутствие алита – невозможное событие; содержание алита 45% - случайное событие).

Вероятностью называют меру объективной возможности случайного события. Вероятность Р события А вычисляют как отношение числа благоприятных случаев m , влекущих за собой появление события А, к общему числу событий N:

m

Р (А) = ------- ;

N

Например в партии из 100 изделий находится 5 бракованных. Вероятность появления бракованного изделия в партии равно 0,05.

Вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0, а случайное событие появляется с вероятностью, большей 0 и меньшей 1.

Поддающаяся измерению случайная величина может быть непрерывной или дискретной.

Непрерывная случайная величина принимает любое значение в некотором интервале.

Дискретная случайная величина может принимать только вполне определенные значения, причем эти значения могут быть перечислены.

Например содержание окиси магния в ПЦ может изменяться непрерывно в интервале 0…5%; количество половинок кирпича в партии кирпича – дискретная случайная величина.

Каждому значению случайной величины соответствует определенная вероятность. Для характеристики случайной величины необходимо знать функцию ее распределения, или закон распределения вероятностей этой величины.

Дискретная случайная величина считается заданной, если известны все возможные ее значения и вероятность каждого значения. Непрерывные величины характеризуются бесконечным множеством возможных значений. Поэтому непрерывную случайную величину обычно задают в виде дискретной, разбивая все возможные ее значения на интервалы и определяя вероятности появления этих интервалов.

Исходя из значений вероятностей, найденных для всех интервалов, строят ступенчатую кривую, называемую гистограммой. Далее можно построить плавную кривую распределения. Такая кривая характеризует плотность распределения вероятности для данной непрерывной случайной величины. Площадь, ограниченная кривой, равна вероятности появления любого из возможных значений величины т.е. 1. Для определения вероятности того, что случайная величина лежит в пределах интервала Δx = x_a – x_b , необходимо найти площадь, ограниченную ординатами x = a и x = b.Эта площадь пропорциональна плотности вероятности для интервала Δx.

Если значение случайной величины формируется под воздействием большого числа взаимно независимых факторов, можно ожидать распределения по нормальному закону. Наибольшая плотность вероятности при нормальном распределении соответствует среднему значению X. По мере того, как возрастают отклонения от средней величины, плотность вероятностей быстро убывает.

Среднее значение дискретной случайной величины X или ее математическое ожидание М – это сумма произведений всех возможных значений величины x_i на вероятности этих значений p_i :

n

M (X) = ∑ x_i p_i ;

i = 1

Мерой рассеяния дискретных случайных величин служит дисперсия, обозначаемая σ² и определяемая по формуле:

n

σ² = ∑ (x_i - Х)² p_i ;

i = 1

Если изучается не вся совокупность явлений, а определенная выборка, то дисперсию вычисляют по формуле:

1 n

s² = ------- • ∑ m_i (x_i - x)² ;

n - 1 i = 1

где m_i - число выборочных точек, попавших в i – й интервал;

x - среднее арифметическое значение величины;

n - число элементов в выборке.

Для характеристики рассеяния чаще всего пользуются средним квадратическим отклонением σ, которое представляет собой значение квадратного корня из дисперсии, взятое с положительным знаком:

σ = √ σ² ;

Для выборочных данных используют понятие стандартного отклонения:

s = √ s² ;

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина. Чем меньше σ , тем меньше рассеяние случайной величины относительно среднего значения.