основных носителей, как правило, на несколько порядков больше, чем неосновных. Иными словами: нарушение равновесия основных носителей незначительно, тогда как нарушение равновесия неосновных носителей может быть очень большим.

Распределение концентрации неравновесных носителей в зависимости от координатыx при стационарном возбуждении (инжекции):

Из формул (40а) и (40б) видно следующее: диффузионная длина является расстоянием, на котором концентрация неравновесных носителей уменьшается вследствии рекомбинации в е раз (е»2,72); время жизни является временем, за которое концентрация неравновесных носителей уменьшается вследствии рекомбинации в е раз.

Диффузионная длина электронов Ln и дырок Lp:

где tn, и tp - времена жизни электронов и дырок, соответственно. Коэффициенты диффузии электронов и дырок:

Контактная разность потенциалов:

15

где ND - концентрация доноров в n-области; NA - концентрация акцепторов в р-области. Напряжение на р-n-переходе:

Если учесть (20), получим:

Емкость р-n-перехода

Как видно на рис. 7 на небольшом расстоянии (доли мкм) от технологической границы

(3) в p- и n- областях образуется область объемного заряда из двух слоев: отрицательного в р-области (2) и положительного вn-области (1). Область объёмного заряда обладает ёмкостными свойствами наподобие конденсатора с площадью пластин, равной площади р-n- перехода S и расстоянием между пластинами, равным ширине р-n-перехода:

где e0 - электрическая постоянная; e - относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника; jк - контактная разность потенциалов; NA и ND - концентрации ионизированных акцепторов вр-области и доноров nв-области, соответственно; U - приложенное внешнее напряжение (положительное для прямого смещения и отрицательное – для обратного).

16

Тогда, с учетом формулы плоского конденсатора, можно получить барьерную ёмкость р-n-перехода:

Обозначение величин, как и в формуле (51).

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1.

Вычислить удельное сопротивление металлического проводника, имеющего плотность 970 кг/м3 и молярную массу0,023 кг/моль, если известно, что на каждый атом приходится один электрон, а средняя скорость дрейфа электронов в электрическом поле напряженностью 0,1 В/м составляет 5×10-4 м/с.

Дано:

D =970 кг/м3

М=0,023 кг/моль

Vдр=5×10-4 м/с E = 0,1 B/м

n0=1

r - ?

Решение: Удельное сопротивление металла:

e × n × mn

где е – заряд электрона; n – концентрация электронов; mn – их подвижность. По определению подвижность носителей заряда:

где Vдр – дрейфовая скорость электронов; Ε – напряженность электрического поля.

Концентрация электронов определяется концентрацией атомовn и количеством

ат

электронов на один атом n0:

где D – плотность металла; Μ - его молярная масса; NA - число Авогадро. Подставив (1.2) и (1.3) в (1.1) получим:

en0 DN AVдр

Проверим единицу измерения полученной величины:

Подставив в полученную формулу числовые значения величин, произведем вычисления:

Ответ: r = 4,92×10 -8 Ом× м..

Пример 2.

Определить, на сколько электрон-вольт выше уровня Ферми уровень ,энерг вероятность заполнения которого электронами при 300 К равна 1%.

17

Дано: f(E1)=0,01 T=300 K

DE - ?

где E1 – данный энергетический уровень; EF – уровень Ферми; k – постоянная Больцмана в [эВ / К]; Т – температура.

Решим это уравнение относительно (E1-EF):

Пример 3.

Образец полупроводника n-типа имеет удельное сопротивление 0,03 Ом×м. Определить концентрацию собственных, неосновных и основных носителей тока. Ширина запрещенной зоны равна 1,5 эВ, относительная эффективная масса электронов равна 0,25, а дырок – 0,6. Подвижность основных носителей заряда равна 0,1 м2/В×с. Температура равна

300 К.

r = 0,03Ом × м

Eg =1,5эВ,

mn = 0,25 mo

mn = 0,6 mo

T = 300K

mn = 0,1м 2 / В × с

ni , pn , nn - ?

Решение: Будем считать, что у полупроводника ярко выраженапримесная

18

проводимость (об этом говорит низкое удельное сопротивление). Тогда для удельного сопротивления можно записать:

r = 1 = 1 , (3.1)

ge × nn ×mn

где е – заряд электрона; mn – подвижность электронов; nn – концентрация основных электронов.

Отсюда

где mn, mp – эффективные массы электронов и дырок, соответственно; Т – температура; k – постоянная Больцмана в[Дж/К]; h – постоянная Планка в[Дж/с]; в показателе степени экспоненты: Eg - ширина запрещенной зоны в [эВ]; k - постоянная Больцмана в [эВ / К].

Известно (18), что

Проверим единицы измерения величин:

= 1,53 ×1012 м-3;

19

=1,12×103 м-3.

Допустимо воспользоваться формулой (3.5) , подставив в нее вычисленные значения ni и nn.

Ответ: ni= 1,53×1012 м -3, pn=1,12×10 3 м -3 , nn= 2,08×10 21 м -3 .

Пример 4.

Прямоугольный образец полупроводникаn-типа с размерами50´5´1 мм помещен в магнитное поле с индукцией 0,5 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости образца. Под действием продольного напряжения0,42 В по нему протекает ток20 мА. ЭДС Холла равна 6,25 мВ. Найти удельную электропроводность, подвижность и концентрацию электронов в образце.

l=50 мм =50×10–3 м ; h=5 мм = 5×10–3 м ; b=1 мм =1×10–3 м ;

В=0,5 Тл ; U=0,42 В ;

I=20 мА =20×10–3 A ;

UH =6,25 мВ = 6,25×10–3 B ;

I

где U – продольное напряжение, I – сила тока через образец. Удельная электропроводность образца:

20

Подвижность электронов:

Проверим единицы измерения полученных величин:

[g ]= A × м = Ом -1 м -1

Подставив в полученные формулы числовые значения величин, произведем вычисления:

Пример 5.

Удельное сопротивление р-области р-n-перехода равно 0,015 Ом×м, а n-области - 0,012 Ом×м. Вычислить высоту потенциального барьера р-n- перехода, если ширина запрещенной зоны 3,5 эВ. Подвижность основных электронов и дырок равны 0,1 м2/В×с и 0,02 м2/В×с, а их относительные эффективные массы– 0,25 и 0,6 соответственно. Температура равна 300 К.

Дано:

rp = 0,015Oм × м rn = 0,012Oм × м Eg = 3,5эВ

mp = 0,02м2 / B ×с

mn = 0,1м2 / B ×с

T = 300K

mn = 0,25 m0

mp = 0,6 m0

ЕПБ - ?

Решение: Высота потенциального барьера в эВ численно равна контактной разности потенциалов, которая определяется выражением:

21

где mn и mp – подвижности электронов и дырок, соответственно. Отсюда:

22

Ответ: ЕПБ = 3,1 эB.

Пример 6.

В арсениде индия(InAs) с относительной диэлектрической проницаемостью14,6

сформирован p-n-переход. Концентрация основных носителей заряда при температуре 300 К в р-области – 1022 м-3, в n-области – 1021 м-3, а, площадь поперечного сечения р-n-перехода

0,01 см2. Определить барьерную емкость и ширинуp-n-перехода, если к р-n-переходу приложено обратное напряжение 100 В.

Дано:

e = 14,6

Т=100 К

pp = 1022 м-3 nn = 1021 м-3

S = 0,01 см2

U = –100 В

С, d - ?

Решение:

Концентрация примесей равна концентрации основных носителей тока:

где e0 – электрическая постoянная; е – заряд электрона; e – относительная диэлектрическая проницаемость; jк – контактная разность потенциалов; U – приложенное напряжение; NA и ND - концентрации ионизированных акцепторов рв-области и доноров nв-области, соответственно.

Барьерную емкость найдем по формуле:

значение jк, заведомо намного меньше 100 B, то в формулах (6.2) и (6.3) им можно пренебречь.

23

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ (N – номер варианта)

ТЕМА 1. Электропроводность металлов

1.1.K проводнику длиной 1 м и площадью поперечного сечения0,1 мм2, выполненному из заданного металла, приложено напряжение 0,1 В. Температура проводника (300+20N)Κ. Определить:

а) скорость дрейфа электронов; б) её отношение к средней тепловой скорости;

в) сопротивление проводника при указанной температуре.

1.2.К проводнику длиной 1 км и площадью поперечного сечения1,5 мм2 , выполненному из заданного металла, приложена разность потенциалов220 В. Температура проводника

(300+20N)Κ. Определить:

а) время, в течение которого электрон пройдет по данному проводнику;

б) во сколько раз быстрее электрон пролетит это расстояние в вакууме при то напряжении; в) сопротивление проводника при указанной температуре.

1.3. В проводнике с площадью поперечного сечения1 мм2 и длиной (1000+50N)м, выполненном из заданного металла, при температуре (300+20N)Κ протекает ток под действием напряжения 10 В. Определить:

а) скорость дрейфа электронов; б) среднюю тепловую скорость электронов;

в) сопротивление проводника при указанной температуре.

ТЕМА 2. Статистика электронов в металлах

2.1.В образце, выполненном из заданного металла, при температуре 300К некоторый

энергетический уровень расположен на 0,1×3N эВ выше уровня Ферми. Определить: а) концентрацию свободных электронов в металле; б) значение энергии Ферми и указанного энергетического уровня;

в) вероятность заполнения электронами указанного энергетического уровня; г) вероятность заполнения электронами указанного энергетического уровня при увеличении температуры до (300+20N) Κ;

д) начертить в масштабе зонную диаграмму металла, на которой указать численные значения уровня Ферми и указанного энергетического уровня.

2.2. В образце, выполненном из заданного металла, только при определенной температуре

вероятность нахождения электрона на энергетическом уровне, расположенном на 0,1×3N эВ выше уровня Ферми, равна 1%. Определить:

а) концентрацию свободных электронов в металле;

24