При этом часть уровней у дна первоначально пустой зоны заполняется электронами области потолка первоначально заполненной зоны. Уровень Ферми находится между потолком нижней и дном верхней из перекрывшихся зон(рис. 2, б). Электроны, перешедшие из заполненной в пустую ,зонустановятся электронами проводимости. Опустевшие состояния у потолка нижней зоны проявляют себя как дырки, то есть носители тока с положительным зарядом.

Заполненная зона обладает особыми свойствами. Так как все состояния заполнены, то

втвердом теле присутствуют электроны с определенной энергией, движущиеся во всех возможных направлениях. Общий ток всех этих электронов равен нулю. Ток остается равным нулю и в присутствии электрического поля. Электрическое поле, чтобы создать ток, должно изменить направление движения хотя бы некоторых электронов. Так как все состояния заполнены, никакой электрон не может изменить своего состояния, так как не может перейти

вуже заполненное состояние. Принцип Паули запрещает переход в то состояние, в котором уже находятся два электрона. Таким образом, электроны заполненной зоны, даже при наличии электрического поля, не могут создать электрический ток.

Если зона заполнена частично, то к заполненным состояниям примыкают вплотную свободные состояния. Граница между ними является уровнем Ферми(смотри рис. 2 а). У

электронов, находящихся на верхних заполненных состояниях есть возможность п действием внешнего электрического поля увеличивать свою энергию, то есть переходить в другое энергетическое состояние, а значит участвовать в электропроводности. Это означает, что электропроводность металлов определяется свойствами не всех электронов, а только

быстрых электронов на вершине распределения Ферми, чем высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно придать небольшую дрейфовую скорость.

Однако большая скорость на уровне Ферми обусловлена именно высокой полно концентрацией электронов, определяющей наклон кривой E(k) при уровне Ферми (волновое число k=2p/l, где l=h/mV - длина волны де Бройля электрона).

Рассмотрев основные типы зонных структур, показанные на рис. 2, можно заключить, что случаи а) и б) соответствуют металлам, а случай в) - изоляторам или полупроводникам при низких температурах.

Статистика электронов в металлах

Вероятность заполнения электронами уровня с энергиейE точно описывается квантовой функцией распределения Ферми-Дирака:

Такая вероятность для уровней, расположенных на несколько kТ ниже уровня Ферми близка к единице, а для уровней, расположенных на несколько kТ выше – близка к нулю и в полупроводниках, и в металлах (смотри, например, на рис. 3, третий столбец графиков).

Положение уровня Ферми в металле определяется концентрацией электроновn в нем

(8):

7

Энергетическая ширина заполненных зон в металлах равна нескольким электрон-

полностью заполненными, а выше – совершенно пустыми. Такой электронный газ в металлах является вырожденным, и его свойства далеки от свойств идеального, посколькугаза вероятность заполнения каждого состояния электронами равна единице, а в газах – намного меньше единицы.

При нагревании постепенно происходит сглаживание ступеньки распределения: появляются свободные энергетические состояния ниже уровня Ферми, и наоборот, занятые – выше уровня Ферми, и область размытия функции распределения увеличивается. Когда эта область становится порядка энергии Ферми, квантовая функция распределения Ферми-Дирака переходит в классическую функцию распред Максвелла-Больцмана, а свойства электронов становятся подобными свойствам идеального газа, то есть вырождение снимается. Температура, при которой это происходит, называется температурой вырождения, или температурой Ферми. Её можно найти, считая, что область размытия kT порядка энергии Ферми:

откуда с помощью(10) можно получить значение температуры вырождения для данного металла.

Так, например, в металле с обычной концентрацией электронов, если принять EF = 5 эВ, то температура вырождения оказывается около60 000 К. Это значит, что электронный газ в металлах сильно вырожден при всех температурах вплоть до температуры плавления. В соответствии с этим электроны в металле нельзя считать идеальным газом, так как они обладают совершенно другими свойствами.

В полупроводниках электроны проводимости находятся в так называемой з проводимости, и их концентрация обычно мала по сравнению с плотностью энергетических состояний. Поэтому электроны в полупроводниках описываются статистикой Больцмана и

где e - заряд электрона; n, р - концентрации электронов и дырок соответственно; mn, mp - подвижности электронов и дырок, соответственно.

проводимости, EV - потолок валентной зоны, ED - уровень доноров, EA - уровень акцепторов. Разность энергий EC–EV есть ширина запрещенной зоны Eg .

Чтобы найти распределение электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне необходимо умножить функцию распределения плотности состояний N(E) на функцию распределения Ферми-Дирака f(E).

Это распределение концентрации электронов и дырок показано графически на рис.3,

8

где масштаб концентрации носителей тока на рисунке для ясности сильно увеличен сравнению с масштабом плотности состояний.

Рисунок 3 – Зонная диаграмма, плотность состояний, функция распределения ФермиДирака и концентрации носителей для:

а) собственного полупроводника, б) полупроводника n-типа и в) полупроводника р-типа.

Аналитически это выражается так:

где NC(E), NV(E) – плотности энергетических состояний в зоне проводимости и в валентной зоне, соответственно; fn(E) и fp(E) - функция распределения электронов и дырок

9

Рисунок 4 – Схематическое изображение:

а) собственного полупроводника б) полупроводника n-типа и в) полупроводника р-типа.

Обычно примесные атомы замещают собственные атомы полупроводника, привнося при этом в запрещенную зону свои энергетические уровни. Акцепторные атомы, обладая меньшей валентностью, чем собственные (основные) атомы, образуют более мелкую потенциальную яму, и их энергетические уровни несколько выше потолка валентной зоны (рис.5 а). Донорные атомы, обладая большей валентностью, чем основные, образуют более

глубокую потенциальную яму, и их энергетические уровни несколько ниже дна зон проводимости (рис.5 б). Заметим, что энергия электрона увеличивается вверх, а энергия дырки – вниз. Стремясь уменьшить свою энергию, электроны, подобно песчинкам в воде, стремятся опуститься вниз, а дырки, подобно пузырькам воздуха, стремятся всплыть вверх. Электроны являются носителями тока, только находясь в зоне проводимости, а дырки – только находясь в валентной зоне.

Рисунок 5 – Зонная диаграмма полупроводника вблизи а) акцепторного примесного атома и б) донорного примесного атома.

10